Suite exacte d'espaces vectoriels

Bonjour Math Coss. Oui, tu as raison, mais je n'ai pas voulu trop compliquer. Petite question: comment obtient-on le symbole somme directe, oplus n'a pas marché.

Bonsoir
Je vous ai lu, c'est très intéressant. Cependant je n'arrive pas à voir clair.

Si j'ai bien compris, Magnolia affirme que l'existence d'une suite exacte implique un isomorphisme avec une somme directe.
Cependant j'ai l'impression que le contre-exemple de Math Coss permet d'infirmer ce résultat. La subtilité serait-elle que $F$ et $G$ vus comme sous-espaces vectoriels de $\R^{2}$ sont égaux. Mais vus comme espaces vectoriels, c'est-à-dire isomorphe [à] $\R$ alors on obtient une somme directe ? Mais pour moi $F = G$ quoi qu'il arrive. J'ai du mal à voir la subtilité. Pouvez-vous m'en dire plus s'il vous plaît ?
Merci d'avance !

Je pense que tu sens où est le problème. Il y a deux types de somme directe :

• la somme directe « interne » de deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un même espace $E$ : elle n'est définie que si $F\cap G=\{0\}$ et, si c'est le cas, elle est égale à la somme $F+G$, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs qui s'écrivent comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ ;
• la somme directe «externe », qu'il est très difficile de discerner du produit direct ; étant donné deux espaces vectoriels quelconques $F$ et $G$ (pas d'objection à ce qu'ils soient des sous-espaces d'un même espace $E$ mais ce n'est pas obligatoire), leur produit direct $F\times G$ est l'ensemble des couples $(u,v)$, l'addition et le produit par un scalaire se fait composante par composante, etc.

Lien entre les deux : si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces dont l'intersection est nulle, leur somme directe interne est isomorphe à leur somme directe externe (i.e. leur produit direct).

Si, $F$ et $G$ étant des sous-espaces d'un espace $E$, tu écris $E=F\oplus G$, la somme directe est par défaut la somme directe interne ; l'exemple que j'ai donné plus haut montre qu'il n'est pas nécessaire d'avoir $F\cap G=\{0\}$ pour qu'il existe une suite exacte $0\to F\to E\to G\to 0$.

Une condition nécessaire et suffisante, c'est que $E\simeq F\times G$, c'est-à-dire que $E$ soit isomorphe (et pas nécessairement égal) à la somme directe externe (la seule qui existe sans hypothèse sur l'intersection). Quand est-ce que cela arrive ? Comme deux espaces vectoriels sont isomorphes SSI ils ont la même dimension et comme la somme directe externe a pour dimension la somme des dimensions, la condition équivaut à $\dim E=\dim F+\dim G$.


NB : La différence entre somme directe externe et produit direct se fait quand on a une infinité de composantes. Quand on a une famille disons dénombrable $(F_n)_{n\in\N}$ d'espaces vectoriels, on forme :

• leur produit direct $\prod_{n\in\N}F_n$ : un élément du produit est une suite $(v_n)_{n\in\N}$ où, pour tout $n$, $v_n\in F_n$ ; la somme et le produit par un scalaire se font composante par composante ;
• leur somme directe $\bigoplus_{n\in\N}F_n$ est le sous-espace formé des suites $v_n$ presque nulles ou à support fini : $\mathrm{card}\{n\in\N,\ v_n\ne0\}<+\infty$.

Si par exemple $F_n=\R$ pour tout $n$, alors la somme directe $\bigoplus_{n\in\N}F_n$ est naturellement isomorphe à l'espace des polynômes $\R[X]$ alors que le produit $\prod_{n\in\N}F_n$ est naturellement isomorphe à l'espace des séries formelles $\RX$.

Tout à fait. Tu as bien compris la différence entre l'égalité $E=f(F)\oplus s(G)$ et l'isomorphisme qui en résulte : $E\simeq F\oplus G$, dû au fait que $f(F)\simeq F$ et $s(G)\simeq G$.

Il faudrait détailler la construction de « la » section $s$, qui apparaît d'on ne sait trop où (les guillemets sont dus au fait que tu en mentionnes une mais qu'il en existe plusieurs en général). Voici une façon de procéder.

On choisit un supplémentaire $G'$ de $f(F)$ dans $E$. La restriction de $g$ à $G'$ est une injection (car $\ker s_{|G'}=\ker s\cap G'=f(F)\cap G'=\{0\}$) et une surjection (on vérifie que $\mathrm{im}g_{|G'}=\mathrm{im}g=G$) donc elle admet un inverse $s:G\to G'$ (qu'on identifie à une application linéaire $s:G\to E$ dont l'image est $G'$).

J'insiste là-dessus parce que l'existence de supplémentaires est (presque) une spécificité des espaces vectoriels : elle entraîne que toute suite exacte est scindée. Quand on étudie des suites exactes de groupes abéliens ou plus largement de modules sur un anneau, il est rare qu'une suite exacte soit scindée. Un exemple simple : \[\newcommand{\l}{\longrightarrow}
\xymatrix@R-2em{0\ar[r]&\Z\ar[r]&\Z\ar[r]&\Z/2\Z\ar[r]&0\\&x\ar@{|->}[r]&2x}\]

Au plan algébrique, si on admet l'axiome du choix, la finitude de la dimension n'intervient pas – le théorème de la base incomplète reste vrai. Si on ajoute de la topologie dans l'histoire, évidemment, ça change tout.