Vect(base) et somme directe
Bonsoir,
Soit B une base d'un espace vectoriel E formée de vecteurs propres de l'endomorphisme u de E.
Je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer que Vect(B) est inclus dans la somme directe des sous-espaces propres de u.
Prenons un vecteur x de Vect(B), il appartient à la somme des sous-espaces propres car x fait partie de l'un d'eux et il suffit de prendre à chaque fois ensuite le vecteur nul pour compléter l'égalité de x avec une somme d'éléments des sous-espaces propres.
Mais d'où vient l'unicité qui permettrait de dire que x appartient à la somme directe ?
J'espère que la formulation est claire. Merci d'avance pour vos réponses.
Soit B une base d'un espace vectoriel E formée de vecteurs propres de l'endomorphisme u de E.
Je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer que Vect(B) est inclus dans la somme directe des sous-espaces propres de u.
Prenons un vecteur x de Vect(B), il appartient à la somme des sous-espaces propres car x fait partie de l'un d'eux et il suffit de prendre à chaque fois ensuite le vecteur nul pour compléter l'égalité de x avec une somme d'éléments des sous-espaces propres.
Mais d'où vient l'unicité qui permettrait de dire que x appartient à la somme directe ?
J'espère que la formulation est claire. Merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
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Bonsoir,
vous faites une erreur en disant que x fait parti d'un des espaces propres, sinon x serait automatiquement un vecteur propre, un élément de Vect(B) n'est pas nécessairement un vecteur propre sauf si est combinaison linéaire des vecteur propres du même espace propre -
Bonsoir,
Merci pour votre réponse. En effet, un vecteur de Vect(B) n'est qu'une combinaison quelconque d'un vecteur propre de B. Dans ce cas, je suis encore plus perdue. Comment peut-on montrer que Vect(B) est inclus dans la somme directe des sous-espaces propres ? -
Bonsoir,
prenez un vecteur propre d'un espace propre, et essayez de démontrer qu'il est combinaison linéaire de vecteurs des autres espaces propres. Qu'en déduisez vous ?
En réalité je ne sais pas quoi penser car des votre première question vous admettez que vous avez une base de vecteurs propres des le départ. Et l'espace E est somme directe des droites vectorielles engendrées par les vecteurs de la base non ? (enfin dès que l'on parle de base je pense) ou bien j'ai mal compris la question. -
supp
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