Vect(base) et somme directe

Bonsoir,

Soit B une base d'un espace vectoriel E formée de vecteurs propres de l'endomorphisme u de E.
Je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer que Vect(B) est inclus dans la somme directe des sous-espaces propres de u.
Prenons un vecteur x de Vect(B), il appartient à la somme des sous-espaces propres car x fait partie de l'un d'eux et il suffit de prendre à chaque fois ensuite le vecteur nul pour compléter l'égalité de x avec une somme d'éléments des sous-espaces propres.
Mais d'où vient l'unicité qui permettrait de dire que x appartient à la somme directe ?

J'espère que la formulation est claire. Merci d'avance pour vos réponses.