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Vect(base) et somme directe

Envoyé par Fissa 
Vect(base) et somme directe
il y a deux mois
Bonsoir,

Soit B une base d'un espace vectoriel E formée de vecteurs propres de l'endomorphisme u de E.
Je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer que Vect(B) est inclus dans la somme directe des sous-espaces propres de u.
Prenons un vecteur x de Vect(B), il appartient à la somme des sous-espaces propres car x fait partie de l'un d'eux et il suffit de prendre à chaque fois ensuite le vecteur nul pour compléter l'égalité de x avec une somme d'éléments des sous-espaces propres.
Mais d'où vient l'unicité qui permettrait de dire que x appartient à la somme directe ?

J'espère que la formulation est claire. Merci d'avance pour vos réponses.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Fissa.
Re: Vect(base) et somme directe
il y a deux mois
Bonsoir,
vous faites une erreur en disant que x fait parti d'un des espaces propres, sinon x serait automatiquement un vecteur propre, un élément de Vect(B) n'est pas nécessairement un vecteur propre sauf si est combinaison linéaire des vecteur propres du même espace propre
Re: Vect(base) et somme directe
il y a deux mois
Bonsoir,

Merci pour votre réponse. En effet, un vecteur de Vect(B) n'est qu'une combinaison quelconque d'un vecteur propre de B. Dans ce cas, je suis encore plus perdue. Comment peut-on montrer que Vect(B) est inclus dans la somme directe des sous-espaces propres ?
Re: Vect(base) et somme directe
il y a deux mois
Bonsoir,
prenez un vecteur propre d'un espace propre, et essayez de démontrer qu'il est combinaison linéaire de vecteurs des autres espaces propres. Qu'en déduisez vous ?


En réalité je ne sais pas quoi penser car des votre première question vous admettez que vous avez une base de vecteurs propres des le départ. Et l'espace E est somme directe des droites vectorielles engendrées par les vecteurs de la base non ? (enfin dès que l'on parle de base je pense) ou bien j'ai mal compris la question.
Re: Vect(base) et somme directe
il y a deux mois
bonsoir,

la 1ère phrase est fausse en général sans hypothèse sur $u$
Soit $u$ tel qu'il existe $B$...etc (ça signifie que $u$ est diagonalisable)

Pour prouver votre résultat utilisez juste que si $A$ est une partie non vide d'un espace vectoriel $F$ alors $vect A \subset F$.

Ensuite comme le souligne callipiger, on ne comprend pas trop ni la question ni ce que vous cherchez à montrer car s'il existe une telle base, c'est que $u$ est diagonalisable, et alors le résultat est trivial car la somme directe des sous-espaces propres est l'espace tout entier (et donc il n'y a pas vraiment besoin de ce que je suggère ci-dessus).

Ou alors c'est pour comprendre une démonstration relative à la somme directe de sous-espaces propres???



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par side.
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