Forme de Killing

Depuis peu, je me suis (re)mis à la lecture du livre "Lectures on Lie Groups and Lie Algebras" de Carter-Seagal-Macdonald. Dans la première partie, qui concerne les algèbres de Lie, il y a un commentaire sur la forme de Killing qui n'est pas démontré. J'aimerais le comprendre, mais je sèche.

Donc, c'est parti pour des notations (je copie à peu près celles du livre).

$\mathfrak{g}$ est une algèbre de Lie de dimension finie sur $\mathbb{C}$, le crochet de Lie étant noté $[ \cdot, \cdot]$.

Pour tout $s \in \mathfrak{g}$, on définit $\text{ad}(s) : \mathfrak{g} \longrightarrow \mathfrak{g}$, $t \longmapsto [s,t]$, c'est une application linéaire.

On définit la forme de Killing en posant $\langle x;y \rangle := \text{Tr} \big(\text{ad}(x) \circ \text{ad}(y) \big)$ pour tous $(x,y) \in \mathfrak{g}^2$. C'est une forme bilinéaire symétrique $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \longrightarrow \mathbb{C}$.

Si $\mathfrak{g}$ est une algèbre de Lie, un idéal de $\mathfrak{g}$ est un s.e.v. $h$ de $\mathfrak{g}$ tel que $[h; \mathfrak{g}] \subseteq h$, où $[h ;\mathfrak{g}] := \{[s,t] \in \mathfrak{g} : s \in h, t \in \mathfrak{g} \}$.

On dit qu'une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ est simple si ses seuls idéaux sont $\{0\}$ et $\mathfrak{g}$.

Le résultat qui m'intrigue est le suivant :

Si $\mathfrak{g}$ est simple (et "non triviale" : de dimension $> 1$), alors la forme de Killing est non dégénérée :
pour tout $x$, si $\langle x;y \rangle = 0$ quel que soit $y$, alors $x=0$.

Note : je sais qu'il existe un théorème plus général et plus fort, le "critère de Cartan" comme l'appellent les anglophones, mais chaque chose en son temps.

Bon.

Pour que l'hypothèse de simplicité puisse servir, je me suis dit qu'il faudrait montrer que le noyau de la forme de Killing est un idéal de $\mathfrak{g}$ (si ce n'est pas ça, je ne vois pas). Ensuite, il n'y a que deux choix : soit le noyau est $\{0\}$, soit c'est $\mathfrak{g}$ en entier. Là, il suffirait de trouver un $x$ non nul qui permettrait de contredire que le noyau n'est pas réduit à $\{0\}$.

Je veux donc montrer que $k := \{x \in \mathfrak{g} : \forall y \in \mathfrak{g}, \langle x ; y \rangle = 0\}$ est un idéal. Soit $s \in k$. Soit $t \in \mathfrak{g}$. Il faut que je montre que $[s;t] \in k$, donc il faut que je vérifie si $\langle [s;t] ; y \rangle = 0$ pour tout $y \in \mathfrak{g}$. Mais $\langle [s;t] ; y \rangle$, c'est $\text{Tr}\big( \text{ad}([s;t]) \circ \text{ad}(y) \big)$, que j'aimerais simplifier. Le crochet de Lie n'ayant aucune raison d'être associatif, je me retrouve un poil bloqué.

Comment je m'en sors ?