Centre du groupe orthogonal
Bonjour,
J'aimerais déterminer le centre $Z({\rm O}_n(\mathbb{R}))=\{ A\in {\rm M}_n(\mathbb{R})\ ;\ \forall \Omega \in {\rm O}_n(\mathbb{R}),\ \Omega A = A \Omega\}$ du groupe orthogonal ${\rm O}_n(\mathbb{R})$ dans ${\rm M}_n( \mathbb{R} )$, mais je n'ai aucune idée de comment faire et je n'ai pas trouvé grand chose sur le net.
Cordialement
J'aimerais déterminer le centre $Z({\rm O}_n(\mathbb{R}))=\{ A\in {\rm M}_n(\mathbb{R})\ ;\ \forall \Omega \in {\rm O}_n(\mathbb{R}),\ \Omega A = A \Omega\}$ du groupe orthogonal ${\rm O}_n(\mathbb{R})$ dans ${\rm M}_n( \mathbb{R} )$, mais je n'ai aucune idée de comment faire et je n'ai pas trouvé grand chose sur le net.
Cordialement
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Réponses
Je suppose que chacun de ces machins-là est soit une rotation, soit une symétrie axiale (l'ensemble des symétrie axiale ne compose pas un sous-groupe), soit une composition des deux (peut-être qu'il serait moins bête de tout écrire sous la forme de composition de symétries axiales). À vue de nez, je dirais que le centre de cette chose-là n'est composé que de $id$ et $-id$.
On peut par exemple dire ceci:
Pour tout $a$ dans $\R^n \setminus\{0\},\:\:$ désignons par $S_a$ la réflexion d'hyperplan $^{\perp} \text {Vect}(a).\quad$ Soit $f$ un élément du centre de $\mathcal O_n (\R)$.
Alors $f\circ S_a = S_a \circ f$ entraine que $f(a) \in \text{Ker} (S_a +\text{Id}).\quad \quad$ Or: $\:\:\text{Ker} (S_a+ \mathrm {Id})= \text{Vect}(a).$
Ainsi: pour tout $a$ dans $\R^n, \quad f(a)$ est colinéaire à $a: \quad f$ est une homothétie de $\mathcal O_n(\R)$ et donc $\boxed {f= \pm \text{Id}}$.
$ f= \lambda \;\text{Id} \:$ et $\:f\in \mathcal O_n(\R) \implies \lambda^2 =1.\quad$ En effet:$\quad \forall x \in \R^n,\:\: \|x\|^2= \| f(x)\|^2= \|\lambda x\|^2 = \lambda^2 \|x\|^2.$
$ \{ A\in {\rm M}_n(\mathbb{R})\ ;\ \forall \Omega \in {\rm O}_n(\mathbb{R}),\ \Omega A = A \Omega\}$.
Or quand je regarde Wikipedia par exemple, ce n'est pas $Z({\rm O}_n(\mathbb{R}))$. Je pense qu'en fait il s'agit du commutant je crois.
Cordialement.