Centre du groupe orthogonal

un_kiwi · August 2019

Bonjour,

J'aimerais déterminer le centre $Z({\rm O}_n(\mathbb{R}))=\{ A\in {\rm M}_n(\mathbb{R})\ ;\ \forall \Omega \in {\rm O}_n(\mathbb{R}),\ \Omega A = A \Omega\}$ du groupe orthogonal ${\rm O}_n(\mathbb{R})$ dans ${\rm M}_n( \mathbb{R} )$, mais je n'ai aucune idée de comment faire et je n'ai pas trouvé grand chose sur le net.

Cordialement

Titi le curieux · August 2019

Juste une intuition, sans développement ou certitude:

Je suppose que chacun de ces machins-là est soit une rotation, soit une symétrie axiale (l'ensemble des symétrie axiale ne compose pas un sous-groupe), soit une composition des deux (peut-être qu'il serait moins bête de tout écrire sous la forme de composition de symétries axiales). À vue de nez, je dirais que le centre de cette chose-là n'est composé que de $id$ et $-id$.

un_kiwi · August 2019

Bonjour, désolé je me suis trompé dans mon message, je cherche le centre de ${\rm O}_n (\mathbb{R})$, et non pas de ${\rm O}_2 (\mathbb{R})$. Mes excuses.

LOU16 · August 2019

Bonsoir,
On peut par exemple dire ceci:

Pour tout $a$ dans $\R^n \setminus\{0\},\:\:$ désignons par $S_a$ la réflexion d'hyperplan $^{\perp} \text {Vect}(a).\quad$ Soit $f$ un élément du centre de $\mathcal O_n (\R)$.
Alors $f\circ S_a = S_a \circ f$ entraine que $f(a) \in \text{Ker} (S_a +\text{Id}).\quad \quad$ Or: $\:\:\text{Ker} (S_a+ \mathrm {Id})= \text{Vect}(a).$
Ainsi: pour tout $a$ dans $\R^n, \quad f(a)$ est colinéaire à $a: \quad f$ est une homothétie de $\mathcal O_n(\R)$ et donc $\boxed {f= \pm \text{Id}}$.

un_kiwi · August 2019

D'après ce que vous avez écrit, si $f$ appartient au centre alors $f$ est un homothétie doncs $f = \lambda {\rm Id}$, avec $\lambda \in { \bf R}$. Je ne vois pas pourquoi $\lambda = \pm 1$.

LOU16 · August 2019

Bonjour,
$ f= \lambda \;\text{Id} \:$ et $\:f\in \mathcal O_n(\R) \implies \lambda^2 =1.\quad$ En effet:$\quad \forall x \in \R^n,\:\: \|x\|^2= \| f(x)\|^2= \|\lambda x\|^2 = \lambda^2 \|x\|^2.$

un_kiwi · August 2019

Je suis d'accord, mais je ne comprends pas pourquoi vous affirmez que $f\in {\rm O}_n( {\bf R} )$.

john_john · August 2019

Un élément du centre d'un groupe $G$ est par définition un élément de $G$.

un_kiwi · August 2019

Ah ok, je comprends mieux. En fait, je crois que j'ai une erreur d'énoncé. L'ensemble que je cherche à trouver est

$ \{ A\in {\rm M}_n(\mathbb{R})\ ;\ \forall \Omega \in {\rm O}_n(\mathbb{R}),\ \Omega A = A \Omega\}$.

Or quand je regarde Wikipedia par exemple, ce n'est pas $Z({\rm O}_n(\mathbb{R}))$. Je pense qu'en fait il s'agit du commutant je crois.

Cordialement.