Réduction en PC
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Je cherche à résoudre l'exercice suivant:
Soient $A \in GL_n(\mathbb{C})$ et $m \geq 2$. On suppose $A^m$ diagonalisable. Montrer que $A$ est diagonalisable.
Cet exercice se traite bien avec le théorème affirmant que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Malheureusement, j'essaye de résoudre ce problème avec les outils du programme des classes de PC, donc sans utiliser ce théorème. Voyez-vous comment s'en sortir?
Et façon plus générale, y a-t-il un moyen de contourner l'utilisation de ce théorème?
Je vous remercie d'avance!
Je cherche à résoudre l'exercice suivant:
Soient $A \in GL_n(\mathbb{C})$ et $m \geq 2$. On suppose $A^m$ diagonalisable. Montrer que $A$ est diagonalisable.
Cet exercice se traite bien avec le théorème affirmant que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Malheureusement, j'essaye de résoudre ce problème avec les outils du programme des classes de PC, donc sans utiliser ce théorème. Voyez-vous comment s'en sortir?
Et façon plus générale, y a-t-il un moyen de contourner l'utilisation de ce théorème?
Je vous remercie d'avance!
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Réponses
si l'on sait que $A^m$ est diagonalisable c'est que l'on sait que que pour cet endomorphisme i.e $A^m$, il existe une somme directe où la restriction de $A^m$ sur chaque espace propre est une homothétie.
De là peut-on en dire quelque chose pour $A$ sachant que le corps de base est $\mathbb{C}$ au moins en se restreignant aux sous espace propres de $A^m$ ?
que peut-on dire de l'équation $\mu^m=\lambda$ ? sur $\mathbb{C}$ ?
que se passe-il si l'on se restreint à une droite vectorielle ? (engendrée par un vecteur propre de $A^m$)
déjà, est-ce que tu as en PC le théorème qui dit qu'une matrice de $M_n(\mathbb C)$ est triangularisable (supérieurement par exemple) avec bien évidemment sur sa diagonale ses valeurs propres répétées avec leur ordre de multiplicité?
Car écrire $A$ sous cette forme et regarder ce que donne $A^m$ pour $m \in \mathbb N ^*$ peut être un bon point de départ.
http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_1_MEN_ESR/50/5/PC-mathematiques_287505.pdf
On peut quand-même le résoudre avec le programme PC. Chaque sous-espace propre $E_k$ de $A^m$ est stable par $A$ ($A$ et $A^m$ commutent), et la matrice $A_k$ de la restriction de $A$ à $E_k$ vérifie $A_k^m=\lambda_k I$ avec $\lambda_k\neq0$, d'où si $\mu_k^m=\lambda_k$ alors $B_k=\dfrac1{\mu_k}A_k$ vérifie $B_k^m=I$.
Il suffit donc de démontrer que si $g^m=id$ alors $g$ est diagonalisable.
On montre d'abord que les valeurs propres de $g$ vérifient $\lambda^m=1$ (en revenant à la définition). Ensuite on démontre que $E$ est égal à la somme directe des $F_k=\text{Ker}(g-\omega^k id)$ avec $0\leq k\leq m-1$ et $\omega=e^{2i\pi/m}$, par unicité puis existence de la décomposition d'un vecteur.
1) unicité:
Si $x=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1} x_k$ avec $x_k\in F_k$ alors pour $0\leq j\leq m-1$ on a $g^j(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\omega^{kj} x_k$.
Le système a un déterminant de Vandermonde non nul donc il possède une solution unique (le déterminant de Vandermonde est au programme PC).
2) existence:
Pour $x$ quelconque dans $E$, le système précédent, où les $x_k$ ne sont plus supposés dans $F_k$, possède encore une solution unique qui vérifie $x=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1} x_k$. Il reste à montrer que $x_k\in F_k$.
Pour cela on applique $g$ à chacune des équations et on utilise $g^m=id$ pour la dernière. On obtient pour $0\leq j\leq m-1$: $g^j(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1} \omega^{k(j-1)} g(x_k)$ et par unicité de la solution du système on en déduit $x_k=\dfrac1{\omega^k}g(x_k)$ donc $x_k\in F_k$.
En laissant tomber les $F_k$ réduits à $\{0\}$ a démontré que $g$ est diagonalisable.