Classes de conjugaison de ${\rm SL}_2(K)$

$\def\SL{\text{SL}}\def\GL{\text{GL}}\def\tra#1{{\,^{\rm t}\!#1}}\def\mat#1#2#3#4{\left[\matrix{#1&#2\cr#3&#4\cr}\right]}$Je n'ai pas assez réfléchi à ce que j'écris ci-dessous, c'est pas bien. Soit $K$ un corps commutatif. Tester si deux matrices à coefficients dans $K$ sont semblables peut-être déterminé à l'aide des lois de $K$. Mais si on remplace la conjugaison $\text{GL}$ par $\text{SL}$, cela me semble hors de portée. Je vais me limiter à la dimension 2 et au cas où les matrices sont dans $\SL_2(K)$ et considérer des exemples, histoire de montrer que ce n'est pas de la tarte.

1. Soient $A = \mat{1}{1}{0}{1}$ et $B = \tra{A} = \mat{1}{0}{1}{1}$, de déterminant 1. Elles peuvent être vues à coefficients n'importe où. Elles sont conjuguées dans $\GL_2(\Z)$ donc de manière universelle. Quid de la conjugaison dans $\SL_2(K)$ ? Elles sont conjuguées dans $\SL_2(K)$ si et seulement si $-1$ est un carré dans $K$. Couverture : sauf erreur de ma part. Note : $-1$ carré dans $K$ ne peut pas se décider à partir uniquement des lois de $K$.

2. Même chose avec $A = \mat{0}{-1}{1}{0}$ et $B = \tra{A} = \mat{0}{1}{-1}{0}$, de déterminant 1. Elles sont conjuguées dans $\SL_2(K)$ si et seulement si $-1$ est la somme de deux carrés dans $K$. Avec la même couverture.

3. Quid de $K = \R$ ? Classification des éléments ``elliptique, parabolique, hyperbolique''. Cf par exemple l'excellent K. Conrad in https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/SL(2,R).pdf

4. Quid si $K$ est un corps fini de caractéristique $\ne 2$. Il y a une classification complète des classes de conjugaison de $\SL_2(K)$ mais Il faut quand même travailler. On y trouve des histoires de carrés, non-carrés. Pour un corps fini de caractéristique 2, je me souviens pas de l'avoir vu.

5. Quid si $K$ est un corps local ?

6. Et si $K = \Q$ ? Un corps de nombres ?