Bonjour
La démonstration produite dans votre cours pour l'isomorphisme entre $E$ et son dual est la même que celle entre deux espaces vectoriels de même dimension finie. On comprend mieux pourquoi elle ne dit rien sur l'aspect canonique.
Il y a quand même des exemples importants.
1) $K^n$
2) Si l'espace $E$ est muni d'un produit scalaire euclidien (canonique ou pas).
À un vecteur $x$ on associe la forme linéaire qui à $y$ associe $(x, y)$.
Il n'y a pas en fait isomorphisme canonique entre l'espace vectoriel $E$ et son dual mais entre l'espace euclidien $E$ et son dual. Ce n'est pas très clair mais je n'ai pas le vocabulaire pour l'expliquer...
Donc ce cas n'est pas vraiment un isomorphisme canonique si le produit scalaire ne l'est pas. On comprend que c'est moins canonique que le cas 3) ci-dessous.
3) Si on peut munir $E$ d'un produit scalaire canonique : on retrouve 2)
Exemple important avec $\R^n$ et le produit scalaire canonique.
4)
Hors sujet si ça n'est pas dans votre programme : ce qui est remarquable et mystérieux c'est qu'il
y a un isomorphisme canonique entre $E$ (de dimension finie) et son bidual.
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