Dualité en dimension finie (canoniquement)

hk-futur-mpsi · August 2019

Soit $E$ un ev de dimension finie. Je comprends que $E$ est isomorphe à son dual $E^*$ car on peut démontrer (cette démo ne me pose pas de problème) qu'en choisissant une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ et en notant $\mathcal B^*=(e_1^*,\dots,e_n^*)$ sa base duale, l'application $f_{\mathcal B}:E\rightarrow E^*$ définie par $f_{\mathcal B}(e_i)=e_i^*$ est un isomorphisme (par le théorème de rigidité des applications linéaires).

Ensuite, je lis dans un cours et aussi sur Internet la mise en garde qui dit que $E$ et $E^*$ ne sont toutefois pas "canoniquement (*)" isomorphes, justement parce que l'isomorphisme $f_{\mathcal B}$ dépend de $\mathcal B$. Je suis d'accord que la preuve d'au-dessus montre seulement que $E$ et $E^*$ sont isomorphes mais pas canoniquement. Toutefois, rien ne nous dit (en tout cas pas la preuve précédente) qu'il n'existe pas une autre preuve qui exhibe un isomorphisme qui ne dépende pas d'un choix de base préalable. Cela peut-il se prouver ?

(*) j'ai également lu sur Internet qu'a priori, cette notion n'est pas vraiment définissable (?) et qu'il faut ici la comprendre comme (corrigez-moi si je me trompe) : "$E$ et $F$ sont canoniquement isomorphes ssi il existe un isomorphisme de $E$ sur $F$ et cet isomorphisme est indépendant d'un choix de base préalable".

GaBuZoMeu · August 2019

Un isomorphisme de $\varphi:E\to E^*$ revient au choix d'une forme bilinéaire non dégénérée $b$ sur $E\times E$ ($b(x,y)=\varphi(x)(y)$). Je ne connais pas de forme bilinéaire non dégénérée "canonique" sur $E\times E$.

hk-futur-mpsi · August 2019

Merci, je ne connais pas ce concept de dégénération mais je vais regarder en ce sens.

Maxtimax · August 2019

Cela ne va pas vraiment aider puisqu'il fait alors prouver qu'il n'existe pas de forme bilinéaire non dégénérée "canonique", et on n'est pas avancé sur le sens du mot "canonique".
À ma connaissance il n'y a pas d'argument 100% convaincant qui résolve la question; mais on peut résoudre des approximations de la question. Par exemple on peut décréter que la notion de transformation naturelle correspond à la notion de "morphisme canonique" (c'est débatable mais c'est un point de vue), auquel cas on peut prouver effectivement plusieurs choses :
1- (en adaptant la définition de transformation naturelle pour un foncteur covariant et un foncteur contravariant) La seule transformation naturelle $E\to E^*$ est la transformation nulle, en particulier il n'existe pas d'isomorphisme naturel (donc avec notre approximation, pas d'isomorphisme canonique)
2- (sans rien adapter) Il n'existe pas de transformation naturelle $E\otimes E\to k$ qui soit en tout point une forme bilinéaire non dégénérée, donc en particulier, pas de telle forme "canonique".

Poirot · August 2019

Voir cette note de Matthieu Romagny qui détaille un peu la réponse de Maxtimax.

side · August 2019

supp

GaBuZoMeu · August 2019

Il y a bien un isomorphisme canonique d'un espace euclidien sur son dual (et par ailleurs je ne sais pas ce qu'est un produit scalaire canonique sur un espace vectoriel réel)
En effet, un espace euclidien est par définition un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'une forme bilinéaire symétrique définie positive (et donc non dégénérée). Ciomme je l'ai dit plus haut, cette forme bilinéaire non dégénérée donne canoniquement un isomorphisme de $E$ sur son dual.

side · August 2019

supp

GaBuZoMeu · August 2019

Je répète que je ne sais pas ce qu'est un produit scalaire canonique sur un espace vectoriel réel. Le produit scalaire canonique standard sur $\mathbb R^n$, je le connais. Mais il y a d'autres espaces que $\mathbb R^n$.