Jeu de plage

$f=g=0$ :-D

L'application $f : \overline{3k} \mapsto \overline{7k}$ est bien définie et est une bijection. Le couple $(f, f^{-1})$ convient. Moralement, c'est juste l'identité de $\mathbb Z/11 \mathbb Z$.

Pour la généralisation on n'a pas besoin de supposer les entiers premiers.
On a seulement besoin de supposer que $\text{pgcd}(p,m)=1$ et $\text{pgcd}(p,n)=1$

Si $c$ est un entier vérifiant $m\equiv nc\pmod p$ alors $f(mx)=ncx\pmod{np}$ est une bijection de $A$ sur $B$ qui vérifie $f(ab)=f(a)f(b)$.

Sa bijection réciproque est définie par $g(ny)=mdy\pmod{mp}$ où $d$ est l'inverse de $c$ modulo $p$, $n\equiv md\pmod p$.
Elle vérifie $g(ab)=g(a)g(b)$.

Je suis d'accord, ce sont les mêmes fonctions que j'ai proposées, écrites différemment.

Comme $n$ et $p$ sont premiers entre eux il existe un couple $(u,v)$ tel que $nu-pv=1$ : $nu$ est l'élément neutre de $B$.
$f(a)=(nu)a \pmod{np}$ est alors équivalent à $f(mx)=ncx \pmod{np}$ avec $c\equiv mu\pmod p$, $c$ vérifiant $m\equiv nc\pmod p$.

De même, comme $m$ et $p$ sont premiers entre eux il existe un couple $(u',v')$ tel que $mu'-pv'=1$ : $mu'$ est l'élément neutre de $A$.
$g(y)=(mu')y \pmod{mp}$ est alors équivalent à $g(ny)=mdx \pmod{mp}$ avec $d\equiv nu'\pmod p$, $d$ vérifiant $n\equiv md\pmod p$.

$g$ est la bijection réciproque de $f$ car $g(f(a))=mu'nua\equiv a\pmod{mp}$ puisque $m$ divise $a$ et $(mu')(nu)\equiv 1\pmod p$.