Bonjour,
Je me lance moi aussi dans la démonstration que la famille $(x \mapsto \sin(x^n)\big)_{n\geqslant0}$ est libre, alors:
Soit $n\in \N$, et soient $\lambda_0, \lambda_1, ... \lambda_n$ $n$ réels tels que $\sum_{k=0}^{n} \lambda_k \sin(x^k) = 0$.
Il s'agit de montrer que $\lambda_0= \lambda_1= ... =\lambda_n=0$.
Je me suis inspiré de la proposition de YvesM, et j'ai donc essayé de dériver la somme $\sum_{k=0}^{n}\lambda_k \sin(x^k)$, ce qui me donne $\sum_{k=1}^{n}\lambda_k k x^{k-1}\cos(x^k)$, et lorsque je regarde ce qu'il se passe lorsque $x=0$ ça me donne $\lambda_1 =0$.
Je ne vois pas comment faire ensuite...
@YvesM:
L'égalité $a+b \sin(x)+c \sin(x^2)=0$ étant vraie pour tout $x \in \R$, on peut choisir des valeurs de $x$ qui nous arrangent, par exemple $x=0$, ce qui donne bien $a=0$.
Ensuite après avoir dérivé, on peut remplacer $x$ par 0, ce qui annule le terme $c 2x \cos(x^2)$, et on obtient $b=0$, de là comme il ne reste qu'un seul terme dans l'égalité, il est facile d'obtenir $c=0$ en remplaçant $x$ par n'importe quelle autre valeur qui est différente de 0 et qui n'annule pas $\cos(x^2)$.
Dans ce cas où l'égalité $a+b \sin(x)+c \sin(x^2)=0$ ne comporte que 3 termes, j'arrive à gérer car il y a peu de scalaires à annuler, mais quand il y en a beaucoup je n'y arrive plus.
Même avec 4 scalaires, je suis bloqué : $a+b \sin(x)+c \sin(x^2) +d \sin(x^3)=0$, je ne vois pas comment obtenir dans ce cas là $c=d=0$.
@Dom:
Je comprends qu'il y ait une infinité d'équations car l'égalité est valable pour tout $x$ dans $\R$, mais pour le système linéaire auquel tu fais allusion, s'agit-il simplement du système à deux équations avec l'égalité d'origine et l'égalité obtenue en dérivant ?
Je crois qu'il faut que je révise les conditions d'obtention de solutions dans un système linéaire.
Réponses
Que vaut la dérivée de $x \mapsto \sin (x^n)$ pour $n\in \N$ en $0$ ? Conclus.
Je me lance moi aussi dans la démonstration que la famille $(x \mapsto \sin(x^n)\big)_{n\geqslant0}$ est libre, alors:
Soit $n\in \N$, et soient $\lambda_0, \lambda_1, ... \lambda_n$ $n$ réels tels que $\sum_{k=0}^{n} \lambda_k \sin(x^k) = 0$.
Il s'agit de montrer que $\lambda_0= \lambda_1= ... =\lambda_n=0$.
Je me suis inspiré de la proposition de YvesM, et j'ai donc essayé de dériver la somme $\sum_{k=0}^{n}\lambda_k \sin(x^k)$, ce qui me donne $\sum_{k=1}^{n}\lambda_k k x^{k-1}\cos(x^k)$, et lorsque je regarde ce qu'il se passe lorsque $x=0$ ça me donne $\lambda_1 =0$.
Je ne vois pas comment faire ensuite...
Essaie avec $a+b \sin(x)+c \sin(x^2)=0$.
Vois-tu pourquoi $a=0$ ?
On dérive $b \cos(x)+ c 2x \cos(x^2)=0$.
Vois-tu pourquoi $b=0$ ? $c=0$ ?
Essaie avec $d,e$, puis écris une démonstration générale.
C’est peut-être cet « infini » qui est à démontrer.
Et évidemment mon discours ne suffit pas puisqu’on pourrait avoir 1000 fois la même équation...
L'égalité $a+b \sin(x)+c \sin(x^2)=0$ étant vraie pour tout $x \in \R$, on peut choisir des valeurs de $x$ qui nous arrangent, par exemple $x=0$, ce qui donne bien $a=0$.
Ensuite après avoir dérivé, on peut remplacer $x$ par 0, ce qui annule le terme $c 2x \cos(x^2)$, et on obtient $b=0$, de là comme il ne reste qu'un seul terme dans l'égalité, il est facile d'obtenir $c=0$ en remplaçant $x$ par n'importe quelle autre valeur qui est différente de 0 et qui n'annule pas $\cos(x^2)$.
Dans ce cas où l'égalité $a+b \sin(x)+c \sin(x^2)=0$ ne comporte que 3 termes, j'arrive à gérer car il y a peu de scalaires à annuler, mais quand il y en a beaucoup je n'y arrive plus.
Même avec 4 scalaires, je suis bloqué : $a+b \sin(x)+c \sin(x^2) +d \sin(x^3)=0$, je ne vois pas comment obtenir dans ce cas là $c=d=0$.
@Dom:
Je comprends qu'il y ait une infinité d'équations car l'égalité est valable pour tout $x$ dans $\R$, mais pour le système linéaire auquel tu fais allusion, s'agit-il simplement du système à deux équations avec l'égalité d'origine et l'égalité obtenue en dérivant ?
Je crois qu'il faut que je révise les conditions d'obtention de solutions dans un système linéaire.
e.v.
Mazette !
Tu fais la même chose. Tu dérives et tu prends en 0. Tu trouves un terme nul. Tu dérives et tu prends en 0...
Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer.