Racine de 1

superpower
superpower
dans Algèbre
Bonjour,
Je voudrais savoir si il y a d’autres racines carrées de 1 que -1 dans la sphère des quaternions
Merci d’avance

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Si $q^2=1$ alors $|q|^2=1$ et donc $q\bar{q}=1$, d'où $q \in \mathbb R$. La réponse est donc non.
  • P.
    P.
    Precisons la reponse de Poirot. Un quaternion est un membre de $\R\times E$ ou $E$ est un espace euclidien ORIENTE de dimension 3.
    Le produit scalaire dans $E$ est $\vec{x}\cdot\vec{y}.$ On definit le produit des quaternions $x=(x_0,\vec{x})$ et $y=(y_0,\vec{y})$ par
    $$
    xy=(x_0y_0-\vec{x}\cdot\vec{y},x_0\vec{y}+y_0\vec{x}+\vec{x}\wedge\vec{y}).$$ Dire $x^2=(1,\vec{0})$ est dire $2x_0\vec{x}=\vec{0}$ et $x_0^2-\|\vec{x}\|^2=1.$ Si $x_0=0$ alors $-\|\vec{x}\|^2=1:$ pas possible. Donc $\vec{x}=0$ et $x_0^2=1$ ou $x_0=\pm 1.$
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Tu peux aussi voir que pour tout quaternion $q$, $q^2 - 1 = (q+1)(q-1)$ et comme les quaternions forment un corps, en particulier un anneau intègre, alors si $q^2 = 1$ on a forcément $q+1$ ou $q-1$ nul.
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