Premier théorème de Sylow
Bonjour à tous.
Je suis bloqué à la toute fin d'une preuve du premier théorème de Sylow. Je souhaite montrer qu'il existe un p-Sylow pour un groupe $G$ de cardinal $p^{n}l$ avec $p$ qui ne divise pas $l$. Le groupe $G$ agit par translation à gauche sur l'ensemble de ses parties à $p^{n}$ éléments.
Il existe une orbite qui n'est pas divisible par $p$. Soit $X$ un représentant de cette orbite alors $|Stab(X)| = |G| / |O(X)| = l'p^{n} \ge p^{n}$.
Il me reste plus qu'à montrer que $|Stab(X)| \le p^{n}$. Cela découlerait d'une injection entre $Stab(X)$ et $X$ $g \mapsto gx$ mais je ne vois pas pourquoi c'est une injection.
Il doit me manquer pas grand chose, c'est frustrant, bonne journée
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Je suis bloqué à la toute fin d'une preuve du premier théorème de Sylow. Je souhaite montrer qu'il existe un p-Sylow pour un groupe $G$ de cardinal $p^{n}l$ avec $p$ qui ne divise pas $l$. Le groupe $G$ agit par translation à gauche sur l'ensemble de ses parties à $p^{n}$ éléments.
Il existe une orbite qui n'est pas divisible par $p$. Soit $X$ un représentant de cette orbite alors $|Stab(X)| = |G| / |O(X)| = l'p^{n} \ge p^{n}$.
Il me reste plus qu'à montrer que $|Stab(X)| \le p^{n}$. Cela découlerait d'une injection entre $Stab(X)$ et $X$ $g \mapsto gx$ mais je ne vois pas pourquoi c'est une injection.
Il doit me manquer pas grand chose, c'est frustrant, bonne journée
. Réponses
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Il y a un autre problème sur lequel je bloque aussi, j'ai montré que pour tout groupe de cardinal $p^{n}$ il existe des sous-groupes de cardinal $p^{k}$ quelque soit $k \le n$.
J'aimerais en déduire qu'étant donné un groupe d'ordre $p^{n}$. Pour tout sous groupe $H$ d'ordre $p^{l}$ avec $l<n$ il existe un sous-groupe $K$ d'ordre $p^{l+1}$ qui contient $H$.
Ce résultat me permettrait de montrer si $p$ divise le cardinal d'un groupe $G$ alors tout $p$ sous-groupe de $G$ est inclus dans un $p$-Sylow. -
Bonjour,
Posons\[\text{E}=\left\{\begin{array}{c|c}\text{P}&\text{P}\in\mathfrak{P}(\text{G})\text{ et Card}(\text{P})=p^n\end{array}\right\}\]L'on a alors que\[\text{Card}(\text{E})=\left(\begin{array}{c}p^n\,l\\p^n\end{array}\right)\not\equiv0\qquad[p]\qquad(\star)\]Pourquoi ? Considérons alors\[\Theta:\left\{\begin{array}{rcl}\text{G}&\longrightarrow&\mathfrak{S}_{\text{E}}\\g&\longmapsto&\Theta(g):{\left\{\begin{array}{rcl}\text{E}&\longrightarrow&\text{E}\\\text{P}&\longmapsto&g\,\text{P}\\\end{array}\right.}\\\end{array}\right.\]qui est l'extension à $\text{E}$ de l'action de $\text{G}$ sui lui-même par translation à gauche. De $(\star)$, il résulte qu'il existe $\text{X}\in\text{E}$ dont l'orbite $\text{O}_{\text{X}}$ est telle que $\text{Card}\left(\text{O}_{\text{X}}\right)\not\equiv0\quad[p]$. Soit $\text{H}_{\text{X}}$ le stabilisateur de $\text{X}$. Comme $\text{O}_{\text{X}}$ et $\text{G}/\text{H}_{\text{X}}$ sont équipotents, il résulte que\[\text{Card}\left(\dfrac{\text{G}}{\text{H}_{\text{X}}}\right)\not\equiv0\qquad[p]\]ce qui exige que $p^n$ divise $\text{Card}\left(\text{H}_{\text{X}}\right)$. Or, comme\[\text{H}_{\text{X}}=\left\{\begin{array}{c|c}g&g\in\text{G et }g\,\text{X}=\text{X}\end{array}\right\}\]il est clair que, pour tout $x\in\text{X}$, $\text{H}_{\text{X}}\,x\subset\text{X}$, ce qui fait que $\text{H}_{\text{X}}\subset\text{X}\,x^{-1}$, de sorte que\[\text{Card}\left(\text{H}_{\text{X}}\right)\leqslant\text{Card}(\text{X}\,x^{-1})=\text{Card}(\text{X})=p^n\]Finalement, l'on a\[\text{Card}\left(\text{H}_{\text{X}}\right)=p^n\]comme convenu.
Démonstration largement inspirée du groupe Bourbaki.
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Super j'ai l'argument qui me manquait. Merci beaucoup je vous souhaite un agréable dimanche.
PS : Ce sujet n'est pas tout à fait clos, il reste encore une question. -
Poursuivons un peu notre investigation en se servant de tes notations. Soit $\text{P}$ un $p$-sous-groupe de Sylow de $\text{G}$, puis $\text{H}$ un $p$-sous-groupe de $\text{G}$. Posons $\text{E}'=\dfrac{\text{G}}{\text{P}}$ de sorte que\[\text{Card}(\text{E}')=\left(\begin{array}{c}p^n\,l\\p^n\end{array}\right)\not\equiv0\qquad[p]\quad(\bullet)\]D'autre part, considérons l'action de $\text{H}$ sur $\text{E}'$ définie comme suit\[\left\{\begin{array}{rcl}\text{H}&\longrightarrow&\mathfrak{S}_{\text{E}'}\\h&\longmapsto&{\left\{\begin{array}{rcl}\text{E}'&\longrightarrow&\text{E}'\\\text{P}&\longmapsto&h\,\text{P}\\\end{array}\right.}\\\end{array}\right.\]et posons\[\text{E}'^{\,\text{H}}=\left\{\begin{array}{c|c}\text{X}&\text{X}\in\text{E}'\text{ et }(\forall\,h)(h\in\text{H}\Rightarrow{h\,\text{X}=\text{X}})\end{array}\right\}\]Partant,\[\text{Card}\left(\text{E}'^{\,\text{H}}\right)\equiv\text{Card}\left(\text{E}'\right)\qquad[p]\]de sorte qu'en vertu de $(\bullet)$,\[\text{Card}\left(\text{E}'^{\,\text{H}}\right)\not\equiv0\qquad[p]\]Ainsi existe-t-il nécessairement $g\in\text{G}$ tel que $g\,\text{P}\in\text{E}'^{\,\text{H}}$ et\[\text{H}\,g=\text{H}\,g\,\{e\}\subset\text{H}\,g\,\text{P}=g\,\text{P}\]d'où\[\text{H}\subset{g\,\text{P}\,g^{-1}}\]Finalement, tout $p$-sous-groupe de $\text{G}$ est inclus dans un $p$-sous-groupe de Sylow au moins de $\text{G}$.
Question : Que se passe-t-il si $\text{H}$ est un $p$-sous-groupe de Sylow de $\text{G}$ ? Quel résultat avons-nous ?
Inspiré largement de Bourbaki.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Les $p$-[large]S[/large]ylow sont conjugués.
[Ludwig Sylow (1832-1918) prend toujours une majuscule. AD] -
Mais on s'éloigne du sujet.
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Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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En effet le deuxième théorème de Sylow permet de montrer ce que j'ai barré.
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Je l'ai barré car je pensais qu'on pouvait le déduire de mon deuxième problème, ce qui en fait n'est pas aussi facile que prévu.
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$E$ est l'ensemble des sous-ensembles de $G$ qui ont $p^n$ éléments.
$G$ agit sur $E$ par translation à gauche.
On a $$
\binom{p^nl}{p^n}=\frac{p^nl}{p^n}\times\frac{p^nl-1}{p^n-1}\times\cdots\times\frac{p^nl-p^n+1}{1}.
$$ Après simplifications, la quantité restante n'est pas divisible par $p$.
La première fraction se simplifie par $p^n$. Les autres fractions sont également simplifiables puisque $$
p^nl-i \equiv p^n-i \pmod {p^n}
$$ Soit $k \in \{1,2,\ldots,p^n-1\}$. On peut écrire $k=p^sm$ avec $0 \leq s \leq n-1$ et $p$ ne divisant pas $m$.
Pour chaque fraction, le numérateur peut s'écrire $$
p^nl-k=p^nl-p^sm=p^s(p^{n-s}l-m)
$$ De même pour le dénominateur. $$
p^n-k=p^n-p^sm=p^s(p^{n-s}-m)
$$ Ainsi, chaque fraction est simplifiable par la même puissance de $p$ et de plus: $l$, $p^{n-s}l-m$, et $p^{n-s}-m$ ne sont pas divisibles par $p$.
On peut aussi montrer ce résultat en utilisant les valuations $p$-adiques ... -
Bonjour,
L'on reprend tes notations. L'objectif est ici d'établir que\[\left(\begin{array}{c}p^n\,l\\p^n\end{array}\right)\not\equiv0\qquad[p]\quad(\star\star)\]en s'inspirant largement du texte vraiment remarquable de Bourbaki. Soit $\text{S}$ un groupe d'ordre $p^n$ noté multiplicativement et de neutre $e$, puis $\text{T}$ un ensemble à $l$ éléments. Posons $\text{X}=\text{S}\times\text{T}$, ainsi que $\text{E}=\left\{\begin{array}{c|c}\text{P}&\text{P}\in\mathfrak{P}(\text{X})\text{ et Card}(\text{P})=p^n\end{array}\right\}$, de sorte que\[\text{Card}(\text{E})=\left(\begin{array}{c}p^n\,l\\p^n\end{array}\right)\]vu que $\text{Card}(\text{X})=p^n\,l$. Considérons les deux actions du groupe $\text{S}$ respectivement sur $\text{X}$ et sur $\text{E}$![:\](https://les-mathematiques.net/vanilla/resources/emoji/confused.png ":\")
[{\Theta_{\text{X}}:\left\{\begin{array}{rcl}\text{S}&\longrightarrow&\mathfrak{S}_{\text{X}}\\s&\longmapsto&\Theta_{\text{X}}(s):{\left\{\begin{array}{rcl}\text{X}&\longrightarrow&\text{X}\\(x,\,y)&\longmapsto&(s\,x,\,y)\\\end{array}\right.}\\\end{array}\right.}\text{ et }{\Theta_{\text{E}}:\left\{\begin{array}{rcl}\text{S}&\longrightarrow&\mathfrak{S}_{\text{E}}\\s&\longmapsto&\Theta_{\text{E}}(s):{\left\{\begin{array}{rcl}\text{E}&\longrightarrow&\text{E}\\\text{P}&\longmapsto&\left\{\begin{array}{c|c}\Theta_{\text{X}}(s)\left((x,\,y)\right)&(x,\,y)\in\text{P}\end{array}\right\}\\\end{array}\right.}\\\end{array}\right.}\]$\Theta_{\text{E}}$ est l'extension canonique de $\Theta_{\text{X}}$ à $\text{E}$. A présent, posons $\text{E}^{\,\text{S}}=\left\{\begin{array}{c|c}\text{P}&\text{P}\in\text{E}\text{ et }(\forall\,s)(s\in\text{S}\Rightarrow{\Theta_{\text{E}}(s)(\text{P})=\text{P}})\end{array}\right\}$. Cela posé, quel que soit $t\in\text{T}$, il est clair que $\text{S}\times\{t\}\in\text{E}^{\,\text{S}}$. Montrons que $\text{E}^{\,\text{S}}$ n'est constitué que de ces seuls points fixes sous l'action de $\text{S}$ sur $\text{E}$ (qui sont les orbites de $\text{X}$ pour la relation de conjugaison par l'action de $\text{G}$ sur $\text{X}$). Soit $\text{U}\in\text{E}^{\,\text{S}}$. Visiblement, pour tout $s\in\text{S}$,\[\text{S}\supset\text{pr}_1\left(\text{U}\right)=\text{pr}_1\left(\Theta_{\text{E}}(s)(\text{U})\right)=\left\{\begin{array}{c|c}s\,x&(\exists\,y)\left(y\in\text{T}\text{ et }(x,\,y)\in\text{U}\right)\end{array}\right\}\qquad(\bullet\bullet)\]si bien que, si $u\in\text{pr}_1\left(\text{U}\right)$, alors $u^{-1}\in\text{S}$, de sorte que, faisant $s=u^{-1}$ en particulier dans $(\bullet\bullet)$, il vient immédiatement que $e\in\text{pr}_1\left(\text{U}\right)$, d'où $\text{S}\subset\text{pr}_1\left(\text{U}\right)$, et donc $\text{S}=\text{pr}_1\left(\text{U}\right)$. De ce résultat, il découle que nous avons clairement $\text{Card}(\text{S})=\text{Card}(\text{U})=\text{Card}(\text{pr}_1\left(\text{U}\right))=p^n$. Or, nous avons également $\text{pr}_2\left(\text{U}\right)=\text{pr}_2\left(\Theta_{\text{E}}(s)(\text{U})\right)$, quel que soit $s\in\text{S}$, ce qui fait que $\text{pr}_2\left(\text{U}\right)$ se réduit nécessairement à un unique élément de $\text{T}$. Pour résumer ce qui vient d'être établi, l'on a\[\text{E}^{\,\text{S}}=\left\{\begin{array}{c|c}\text{S}\times\{t\}&t\in\text{T}\end{array}\right\}\]Partant, il vient que\[\left(\begin{array}{c}p^n\,l\\p^n\end{array}\right)=\text{Card}(\text{E})\equiv\text{Card}\left(\text{E}^{\,\text{S}}\right)=l\not\equiv0\qquad[p]\]qui établit bien $(\star\star)$.
Cordialement,
Thierry PomaLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Bonsoir,
Voici un résultat intéressant débuté il y a cinq jours (mais caché) et clôturé ce soir.
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Bonjour!
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