Espaces $V$ tels que $V\otimes V\subset V$

Sylvain
Sylvain
dans Algèbre
Bonjour
Les $K$-espaces vectoriels $V$ tels qu'il existe une injection de $V\otimes V$ dans $V$ ont-ils un nom particulier ? Auriez-vous des références à leur sujet ?
Merci d'avance.

Réponses

  • NoName
    NoName
    Oui, il ont le joli nom de droite, enfin à part l'espace nul, qui fait son rebelle.
    Edit: bon y en a aussi de dimension infinie.
  • Sylvain
    Sylvain
    Oui, c'est la dimension infinie qui m'intéresse.
  • reuns
    reuns
    Tout $K$-espace vectoriel est un $K$-module libre, ça veut dire qu'il existe une base et une injection de $K$ e.v. $ V \to W$ ssi la cardinalité de $W$ est $\ge$ à celle de $V$

    Après en pratique les e.v. de dimension infinie qui nous intéressent ont une norme ou une topologie qui fait qu'on veut aussi des injections continues (donc ici il faut définir une norme sur $V \otimes V$ quand $V$ est normé)

    Si tu penses à $V = \overline{\Q}$ comme $\Q$-e.v. c'est encore autre chose.
  • Sylvain
    Sylvain
    Si $V$ est un espace de matrices diagonales et qu'on définit la norme $\vert\dot\vert$ comme le sup du module des éléments d'une telle matrice, a-t-on une caractérisation du sous-espace de $V$ dont la norme de chaque élément vaut $1$ (seul cas je pense où on a $\vert A\vert=\vert B\vert=\vert A\otimes B\vert$)?
  • reuns
    reuns
    Tu n'as pas défini de norme sur $V \otimes V$. Quel intérêt de présenter $V$ comme des matrices plutôt que des vecteurs ? En algèbre linéaire sous-espace veut dire sous-espace vectoriel.
  • Sylvain
    Sylvain
    Ne peut-on pas definir une telle norme mutatis mutandis ?
  • reuns
    reuns
    Quelle est la norme naturelle de $a \otimes b$ étant donné celle de $a,b$ ? Donc quel est la norme naturelle sur $V \otimes V$ ? Est-ce celle que tu veux ?
  • Sylvain
    Sylvain
    Toujours dans l'hypothèse où mon espace est constitué de matrices diagonales, le produit tensoriel ne correspond-il pas au produit de Kronecker des matrices ?
  • reuns
    reuns
    $\R^n \otimes_{\R} \R^n = M_n(\R)$

    Si $e_1,\ldots,e_m$ est une base de $V$ et $f_1,\ldots,f_r$ est une base de $W$ alors les $g_{i,j} = e_i \otimes f_j$ sont une base de $V\otimes W$ où $e_i \otimes f_j$ c'est juste une paire d'éléments de chaque base.

    On montre que l'e.v. obtenu ne dépend pas des bases choisies ce qui donne que formellement $\otimes$ satisfait les règles de bilinéarité.
  • Sylvain
    Sylvain
    Je reformule. Soit $V$ l'ensemble des matrices diagonales de dimension infinie (donc sous-espace de la limite de $M_{n}(\mathbb{C})$ quand $n$ tend vers l'infini) muni de la norme introduite plus haut. Cet espace est fermé sous le produit de Kronecker. Si maintenant je considère le sous-espace $V_{0}$ dont les éléments sont de norme bornée supérieurement par une constante absolue $C$ et fermé sous le produit de Kronecker, il me semble que les éléments non nuls de $V_{0}$ sont de norme au plus $1$, formant une boule privée de son centre dont la frontière (donc une sphère) est formée des éléments de norme $1$ et est fermée sous le produit de Kronecker non ?
  • reuns
    reuns
    Définis le produit de Kronecker. Comment en fais-tu un produit $D \times D\to D$.

    Les éléments de norme $\le C$ ne forment pas un espace vectoriel.
  • Sylvain
    Sylvain
    Il faudrait donc se restreindre à un sous-ensemble $D_{f}=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_{f}(n)$ où $D_{f}(n)$ est le sous-ensemble de $D$ formé par les $n$ premières lignes et $n$ premières colonnes. De la sorte le produit de Kronecker d'un élément de $D_{f}(n)$ par un élément de $D_{f}(m)$ est un élément de $D_{f}(n.m)$ donc de $D_{f}$.
    Confirmes-tu que le sous-ensemble $D_{f}^{°}$ de $D_{f}$ formé de ses éléments de norme $\leq C$ est fermé sous le produit de Kronecker si et seulement si $C\leq 1$ (bien que n'étant pas un espace vectoriel) ?
  • reuns
    reuns
    Tu n'as toujours pas défini ce produit de Kronecker ce que tu aurais du faire à la première ligne de ta question.

    Pour les matrices diagonales $A . B = \pmatrix{a_{11} B & & \\ & a_{22} B & \\ & & \ldots}$

    La norme sup de $A.B$ est clairement le produit des normes sup de $A,B$.

    Si on n'utilise pas trop la norme sup pour les matrices c'est parce qu'elle n'est pas compatible avec le produit de matrices. Mais pour les matrices diagonales, si (la norme sup est alors la même que la norme d'opérateur)

    Le problème c'est que sur ton espace vectoriel des matrices diagonales de taille infinie avec un nombre fini d'entrées non-nulles, ton produit de Kronecker est soit mal défini soit non distributif sur l'addition.

    Pour le rendre distributif il faut fixer une bijection $\Z^2 \to \Z^2$ pour en faire une injection $f: E \otimes E \to E$ où $E$ c'est l'e.v. des vecteurs de taille infinie, sur lesquels tes matrices diagonales agissent (si bien que $f(A.B) \in f(End(E \otimes E) ) = End(E)$)
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