Groupe $m\Z/n\Z$

La notation $m \mathbb Z/n \mathbb Z$ sous-entend que $n\mathbb Z$ est un sous-groupe de $m\mathbb Z$, et donc que $m$ divise $n$. On a alors facilement $$m\mathbb Z/n\mathbb Z \simeq \mathbb Z/(n/m)\mathbb Z$$ via le morphisme $$mk + n\mathbb Z \mapsto k + (n/m)\mathbb Z.$$

Pas d'accord avec Poirot sur l'hypothèse implicite que $m$ divise $n$. On peut interpréter raisonnablement la notation comme $aR$ où $a=m$ (ou plutôt la classe de $m$) est un élément de l'anneau $R=\Z/n\Z$. On peut donc le considérer comme l'image de l'application $\mu_m:\Z/n\Z\to \Z/n\Z$, $x\mapsto mx$ (qui est un morphisme, mais un morphisme de quoi ?).

Procédons en deux temps. On note $d=m\wedge n$ et on écrit $m=dm'$ et $n=dn'$, avec $n\wedge m'=1$. Alors, $\mu_m$ est la composée de $\mu_{m'}$ (multiplication par $m'$) et de $\mu_d$ (multiplication par $d$), dans l'ordre que l'on voudra.

Premier temps : $\mu_{m'}$ est un isomorphisme (pourquoi ? un isomorphisme de quoi, au fait ?), enfin, quoi, $\mu_{m'}$ est surjective.

Deuxième temps : l'image de $\mu_d$ est aussi l'image de $\Z/n'\Z\to\Z/n\Z$, $y\mapsto dy$ (pourquoi ?). Laquelle est un isomorphisme de $\Z/n'\Z$ sur son image $d\Z/n\Z=m\Z/n\Z$ (pourquoi ? un isomorphisme de quoi, au fait ?).

Je suppose que la question de départ pensait à l'image de $\Z/n\Z$ par la multiplication par $m$ donc à
$$m (\Z/n\Z) =(m\Z+n\Z)/( n\Z)= ( \gcd(m,n)\Z)/ (n\Z) \cong \Z/(\frac{n}{\gcd(m,n)}\Z)$$

Sinon par le 40ème théorème d'isomorphisme on a aussi $$(m\Z+n\Z)/( n\Z) \cong m\Z/( m\Z\cap n\Z) = m\Z / ( lcm(m,n) \Z) \cong \Z/\frac{lcm(m,n)}{m} \Z$$