Infinité de supplémentaires
dans Algèbre
Soit $E$ un $K$-ev avec $K$ infini et $F$ un sev de $E$ tel que $F\neq\{0_E\}$ et $F\neq E$. L'exercice demande de montrer que $F$ admet une infinité de supplémentaires dans $E$.
Voilà ce que j'ai essayé :
Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$. D'après le théorème de la base extraite, il existe $J\subsetneq I$ tel que $(e_i)_{i\in J}$ soit une base de $F$. De plus, $G:=\rm{Vect}(e_i)_{i\in I\setminus J}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$. Ensuite, à cause de l'hypothèse $K$ infini, j'ai pensé poser $G_{\lambda}:=\lambda G$ pour tout $\lambda\in K^{*}$ mais je me rends compte qu'en fait chaque $G_{\lambda}$ est égal à $G$...
Voilà ce que j'ai essayé :
Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$. D'après le théorème de la base extraite, il existe $J\subsetneq I$ tel que $(e_i)_{i\in J}$ soit une base de $F$. De plus, $G:=\rm{Vect}(e_i)_{i\in I\setminus J}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$. Ensuite, à cause de l'hypothèse $K$ infini, j'ai pensé poser $G_{\lambda}:=\lambda G$ pour tout $\lambda\in K^{*}$ mais je me rends compte qu'en fait chaque $G_{\lambda}$ est égal à $G$...
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Réponses
Est-ce que tu sais écrire la preuve en utilisant (en choisissant) uniquement une base d'un supplémentaire $G$ de $F$ et un vecteur non nul de $F$ ?
Dit-on que $\text{E}$ est un $\K$-ev de dimension finie ?
Cordialement,
Thierry
Je regarde pour la seconde question.
@Thierry : a priori non, $E$ n'est pas forcément de dimension finie.
À partir de là, tu devrais pouvoir bricoler une infinité de supplémentaires dans n'importe quel espace.
Soit $F$ un sous-espace propre non trivial de $E$. On choisit :
- un vecteur non nul $u$ dans $F$ (et, accessoirement, un supplémentaire $F'$ de $\mathrm{vect}(u)$ dans $F$) ;
- un supplémentaire $G_0$ de $F$ ;
- une base $(e_i)_{i\in I}$ de $G_0$ ;
- un élément $i_0$ dans $I$, on note $v=e_{i_0}$.
Pour $x\in K$, on note $G_x$ l'espace engendré par la famille $(e_{i,x})_{i\in I}$ où \[e_{i,x}=\begin{cases}xu+e_{i_0}&\text{si}\ i=i_0\\e_i&\text{si}\ i\ne i_0.\end{cases}\]Exercice : montrer (ou réfuter) que $G_x$ est un supplémentaire de $F$ et que $G_x\ne G_y$ si $x\ne y$.