Égalité fonctionnelle

Bonjour,

Si $f \circ truc=Id$ alors $ truc=f^{-1}$.

Bonjour,

Ces opérateurs sont-ils linéaires ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Opérateur_de_décalage

Je précise mon propos.
Soit $E=K^{\mathbb N}$ l'espace des suites d'un corps commutatif $K$.
Soit $\phi : (x_0,x_1,x_2,...) \mapsto (x_1,x_2,x_3,...)$ et $\psi : (x_0,x_1,x_2,...) \mapsto (0, x_0,x_1,...)$, qui sont bien des endomorphismes du $K$-espace vectoriel $E$.
Si $x=(x_0,x_1,x_2,...) $, alors $\phi \psi(x)=x$ mais $\psi \phi(x)= (0,x_1,x_2,...)$, soit : $\phi \psi=Id_E$ et $\psi \phi \neq Id_E$.

Prenons $f$ et $g$ tels que : $f=\phi$ et $f-g+2 Id_E= \psi$, soit : $f=\phi$ et $g=\phi - \psi +2 Id_E$.
Alors on a bien : $f^2-fg+2f-Id_E=0$ mais on n'a pas $fg=gf$.

L'exercice proposé exige donc que l'espace $E$ soit de dimension finie.
Les poseurs de question devraient donner un libellé précis de leur question.
Merci à Rescassol pour son doute créatif.

Bonne journée.
Fr. Ch.
22/08/2019