Loi associative, commutative et $x^2=x$
Bonjour
Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une loi associative et commutative, telle que pour tout $x,y \in E$, il existe $z$ (non nécessairement unique) tel que $x=yz$. Existe-t-il nécessairement $x \in E$ tel que $x^2=x$ ?
Si, pour tout $x,y \in E$, il existe un unique $z$ tel que $x=yz$, alors je sais faire.
On choisit $x$ quelconque et $y=x$, alors, il existe un unique $z$ tel que $x=xz$, donc, en multipliant par $z$, $xz=xz^2$. Donc $x=xz^2$, et comme $z$ est unique $z^2=z$.
Merci d'avance.
Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une loi associative et commutative, telle que pour tout $x,y \in E$, il existe $z$ (non nécessairement unique) tel que $x=yz$. Existe-t-il nécessairement $x \in E$ tel que $x^2=x$ ?
Si, pour tout $x,y \in E$, il existe un unique $z$ tel que $x=yz$, alors je sais faire.
On choisit $x$ quelconque et $y=x$, alors, il existe un unique $z$ tel que $x=xz$, donc, en multipliant par $z$, $xz=xz^2$. Donc $x=xz^2$, et comme $z$ est unique $z^2=z$.
Merci d'avance.
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Réponses
Je reprends le début de votre raisonnement jusqu'à l'étape où vous obtenez $xz=xz^2$. Alors il existe $w\in E$ tel que $z = (xz)w$. Donc en multipliant $xz=xz^2$ par $w$ des deux côtés, on a $z = z^2$ par associativité et commutativité.
$E$ est un groupe en fait.
On peut pousser un peu, il se trouve que le $z$ pris dans l'exemple est l'élément neutre de ta loi de composition.
En effet tu sais que $zx=x$ et par ailleurs, $\forall y \exists w:$ $xw=y$
Donc $\forall y$ $zy=z(xw)=(zx)w=xw=y$ ($w$ dépend de $y$).
En fait tu peux montrer que ton magma est un groupe et que l'élément neutre est donc la seule solution de ton équation.
Plus drôle encore, tu peux faire cette démonstration en te passant de la commutativité mais en "doublant" ta relation ($\forall x,y \in E \exists z_1, z_2 \in E:$ $y=z_1 x $ et $ y=x z_2$), dans ce cas, n'hésite pas à faire appel à l'affaiblissement axiomatique du groupe.
Si tu aimes ce genre de problème, je te conseille d'aller voir du côté de la notion de quasi-groupe, les règles sont un peu différentes de ce que tu as là, mais tu as déjà la "surjectivité de la composition par un élément". Quand on en revient, on adore l'associativité.