Loi associative, commutative et $x^2=x$

Bonjour,
Je reprends le début de votre raisonnement jusqu'à l'étape où vous obtenez $xz=xz^2$. Alors il existe $w\in E$ tel que $z = (xz)w$. Donc en multipliant $xz=xz^2$ par $w$ des deux côtés, on a $z = z^2$ par associativité et commutativité.

Salut,
On peut pousser un peu, il se trouve que le $z$ pris dans l'exemple est l'élément neutre de ta loi de composition.
En effet tu sais que $zx=x$ et par ailleurs, $\forall y \exists w:$ $xw=y$
Donc $\forall y$ $zy=z(xw)=(zx)w=xw=y$ ($w$ dépend de $y$).

En fait tu peux montrer que ton magma est un groupe et que l'élément neutre est donc la seule solution de ton équation.
Plus drôle encore, tu peux faire cette démonstration en te passant de la commutativité mais en "doublant" ta relation ($\forall x,y \in E \exists z_1, z_2 \in E:$ $y=z_1 x $ et $ y=x z_2$), dans ce cas, n'hésite pas à faire appel à l'affaiblissement axiomatique du groupe.
Si tu aimes ce genre de problème, je te conseille d'aller voir du côté de la notion de quasi-groupe, les règles sont un peu différentes de ce que tu as là, mais tu as déjà la "surjectivité de la composition par un élément". Quand on en revient, on adore l'associativité.

De rien, il faut dire que ce genre de truc, il faut vraiment en avoir envie pour tomber dessus, mais comme je suis fou, j'avais commencé ma reprise de l'algèbre par des pages wikipédia, dont celles sur les structures algébriques et lois de composition interne (on notera, à propos de la classification et des propriétés des magmas, qu'il y a souvent des notions qui existent sur des pages anglaises mais pas sur les pages françaises). Désolé pour le discours concernant l'élément neutre et ce qui s'en suit, je n'avais pas fait attention au fait que tu avais déjà montré que c'était un groupe :-D.