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Démonstration courte Cayley-Hamilton

Envoyé par superpower 
Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Bonjour,
j’ai trouvé une preuve de 6 lignes du théorème de Cayley-Hamilton
Vous pensez que je peux la publier et où?
Merci d’avance
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Ça dépend, il est possible qu'elle soit déjà connue (il y a plusieurs preuves courtes de ce théorème, il y a même un document qui en recense 30 preuves ! ).
Si elle n'est pas déjà connue, tu peux imaginer la publier, mais je ne sais pas où...

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Dom
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Quel niveau ces six lignes ?
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
(j'en propose une en 7 lignes, sûrement moins si j'enlève les passages à la ligne:
CH est évidemment vrai pour les matrices diagonales et diagonalisables.
Les matrices diagonalisables à coefficients complexes sont denses dans $M_n(\mathbb C)$ : il suffit de trigonaliser et de perturber la diagonale pour avoir $n$ valeurs propres distinctes, auquel cas la diagonalisabilité est claire. Par continuité du polynôme caractéristique (ses coefficients sont polynomiaux en les entrées de la matrice), le résultat est vrai pour $M_n(\mathbb C)$.
Le théorème de Cayley-Hamilton est une égalité polynomiale, pour le montrer pour toute matrice sur tout anneau il suffit de le montrer pour la matrice générique sur $\mathbb Z[x_{ij}, 1\leq i,j\leq n]$. Or cet anneau se plonge évidemment dans $\mathbb C$ donc l'égalité polynomiale en question y est vraie, en particulier elle est vraie pour la matrice générique, ce qui permet de conclure.)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
@superpower publie dans la RMS revue mathématiques spéciales.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Merci de vos réponses
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Le document aux 30 preuves est ici :
[agreg-maths.univ-rennes1.fr]
Titre amusant, façon « Que Choisir ?», mais contenu sérieux et très utile.
On dit que l'auteur est un participant des plus actifs de ce forum.
Bonne journée du cœur de l'été.
Fr. Ch.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
avatar
Matimax : Je ne comprends pas la partie de ta preuve ou tu affirmes qu'il "suffit de le montrer pour la matrice générique sur ..." pourrais-tu expliquer plus en détail ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Il l'a expliqué : pour $n=2$ il regarde la matrice $A = \pmatrix{a & b \\ c & d} \in M_2(\Bbb{Z}[a,b,c,d])$ l'anneau des polynômes en 4 variables.
Cette matrice est diagonalisable dans $\overline{\Bbb{Q}(a,b,c,d)}$ et avec $P(t) = \det(tI-A)$ alors $P(A) =0$.

Comme $P$ est un polynôme à coefficients dans $\Bbb{Z}[a,b,c,d]$ cela implique que $P_v(A_v) = 0$ pour toute valeur $v \in R^4$ (un anneau commutatif unital) donnée aux $a,b,c,d$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par reuns.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
avatar
Je veux bien croire qu'il l'ait expliqué, mais je n'ai pas compris et je demande plus de détails.

En particulier je ne vois pas en quoi cette matrice de $\Z[x_{ij}]$ nous permet d'en déduire quelque chose si notre anneau $A$ de départ est "tarabiscoté". Par exemple si $A$ est $\mathbb F_q[X]$, $C^0(\R)$ ou un autre truc plus compliqué encore. Si on avait un $A[x_{ij}]$ dans la démonstration à la place du $\Z[x_{ij}]$ je serais ok mais là j'ai l'impression qu'il me manque un résultat d'algèbre commutative qui permet de remplacer ce $A$ par un $\Z$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Corto.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Corto : oui, le résultat qui te manque est que $\Z [x_1,...,x_k]$ est l'anneau commutatif libre sur $n$ générateurs. Concrètement et sans mots pédants, ça veut dire que pour tout anneau commutatif $A$ et tous éléments $a_1,...,a_n\in A$ il existe un (unique mais ce n'est pas nécessaire ici) morphisme $\Z[x_1,...,x_n]\to A$ qui envoie $x_i$ sur $a_i$.
Cela implique en particulier que toute identité polynomiale à $n$ variables valable sur $\Z[x_1...,x_n]$ (on peut même ne la prouver que sur les $x_i$) est valable sur tout anneau commutatif.

Comme les identités polynomiales sont stables par sous-anneau, pour prouver qu'une identité polynomiale est vraie sur tout anneau, il suffit de la prouver sur $\mathbb C$ (où on peut utiliser tout plein d'autres outils).

Ensuite il suffit de se convaincre que Cayley-Hamilton est une collection d'identités polynomiales

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Soit $R$ un anneau commmutatif unital et $A,B,C,D \in R$, soit $r=\Bbb{Z}[a,b,c,d]$ l'anneau des polynômes en $4$ variables et
$f$ le morphisme $r \to R, n \in \Bbb{Z} \mapsto n 1_R \in R, (a,b,c,d) \mapsto (A,B,C,D) \in R$.

Soit $M = \pmatrix{A & B \\ C & D} \in M_4(R)$ et $m = \pmatrix{a & b \\ c & d} \in M_4(r)$ et $p(t) = \det(tI - m) \in r[t], P(t) = \det(tI - M) \in R[t]$.

$p(t)$ est séparable, ses racines sont distinctes et $r$ est un anneau intègre donc $m$ est diagonalisable dans $\overline{Frac(r)}$ donc $p(m) = 0 \in M_4(r)$.

$f$ s'étend naturellement en un morphisme $M_4(r) \to M_4(R)$ et ce morphisme est compatible avec $M \mapsto \det(tI-M)$.

Donc $P(M) = f(p(m)) = 0 \in M_4(R)$.

Autrement dit aussi bizarre que soit ton anneau au départ, pour $A,B,C,D \in R$, l'ensemble des polynômes en $A,B,C,D$ à coefficients entiers est un sous-anneau de $R$ qui est l'image d'un morphisme venant de $\Bbb{Z}[a,b,c,d]$ et donc si Caley Hamilton est vrai dans ce dernier alors il est vrai pour $ \pmatrix{A & B \\ C & D} \in M_4(R)$.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par reuns.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
avatar
Ok, je viens de comprendre ma méprise je crois. Dans ma tête j'avais l'impression qu'on affirmait que <<identité polynomiale valable sur $\Z[x_{ij}]$ $\Leftrightarrow$ identité polynomiale sur valable sur $A[x_{ij}]$ >> alors qu'on a et qu'on affirme uniquement un $\implies$.

Merci pour la clarification. C'est marrant comme méthode de démonstration, je crois que je ne l'avais jamais vue (ou en tout cas je ne m'en souviens pas), je me doute que c'est classique en algèbre.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
En fait j’ai juste montré que le polynôme caractéristique évalué en la matrice est nilpotente
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
Vous croyez que $Tr(Q(A))=Tr(X.I-A)(A)$?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par superpower.
Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
reuns : je suis d'accord avec toi, mais dans ma preuve même pas besoin de montrer que $m$ est diagonalisable (et donc de s'embêter à vérifier que $p(t)$ est à racines simples - pas compliqué, mais plus long que "par densité")

Corto : oui c'est très sympa, ça permet notamment de simplifier par des $\det$ qu'on ne devrait pas pouvoir simplifier grinning smiley

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Re: Démonstration courte Cayley-Hamilton
il y a sept mois
superpower : $Tr(XI-A) = nX - Tr(A)$ par un calcul relativement simple

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