Démonstration courte Cayley-Hamilton
dans Algèbre
Bonjour,
j’ai trouvé une preuve de 6 lignes du théorème de Cayley-Hamilton
Vous pensez que je peux la publier et où?
Merci d’avance
j’ai trouvé une preuve de 6 lignes du théorème de Cayley-Hamilton
Vous pensez que je peux la publier et où?
Merci d’avance
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Réponses
Si elle n'est pas déjà connue, tu peux imaginer la publier, mais je ne sais pas où...
CH est évidemment vrai pour les matrices diagonales et diagonalisables.
Les matrices diagonalisables à coefficients complexes sont denses dans $M_n(\mathbb C)$ : il suffit de trigonaliser et de perturber la diagonale pour avoir $n$ valeurs propres distinctes, auquel cas la diagonalisabilité est claire. Par continuité du polynôme caractéristique (ses coefficients sont polynomiaux en les entrées de la matrice), le résultat est vrai pour $M_n(\mathbb C)$.
Le théorème de Cayley-Hamilton est une égalité polynomiale, pour le montrer pour toute matrice sur tout anneau il suffit de le montrer pour la matrice générique sur $\mathbb Z[x_{ij}, 1\leq i,j\leq n]$. Or cet anneau se plonge évidemment dans $\mathbb C$ donc l'égalité polynomiale en question y est vraie, en particulier elle est vraie pour la matrice générique, ce qui permet de conclure.)
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/HaCa.pdf
Titre amusant, façon « Que Choisir ?», mais contenu sérieux et très utile.
On dit que l'auteur est un participant des plus actifs de ce forum.
Bonne journée du cœur de l'été.
Fr. Ch.
Cette matrice est diagonalisable dans $\overline{\Bbb{Q}(a,b,c,d)}$ et avec $P(t) = \det(tI-A)$ alors $P(A) =0$.
Comme $P$ est un polynôme à coefficients dans $\Bbb{Z}[a,b,c,d]$ cela implique que $P_v(A_v) = 0$ pour toute valeur $v \in R^4$ (un anneau commutatif unital) donnée aux $a,b,c,d$.
En particulier je ne vois pas en quoi cette matrice de $\Z[x_{ij}]$ nous permet d'en déduire quelque chose si notre anneau $A$ de départ est "tarabiscoté". Par exemple si $A$ est $\mathbb F_q[X]$, $C^0(\R)$ ou un autre truc plus compliqué encore. Si on avait un $A[x_{ij}]$ dans la démonstration à la place du $\Z[x_{ij}]$ je serais ok mais là j'ai l'impression qu'il me manque un résultat d'algèbre commutative qui permet de remplacer ce $A$ par un $\Z$ ?
Cela implique en particulier que toute identité polynomiale à $n$ variables valable sur $\Z[x_1...,x_n]$ (on peut même ne la prouver que sur les $x_i$) est valable sur tout anneau commutatif.
Comme les identités polynomiales sont stables par sous-anneau, pour prouver qu'une identité polynomiale est vraie sur tout anneau, il suffit de la prouver sur $\mathbb C$ (où on peut utiliser tout plein d'autres outils).
Ensuite il suffit de se convaincre que Cayley-Hamilton est une collection d'identités polynomiales
$f$ le morphisme $r \to R, n \in \Bbb{Z} \mapsto n 1_R \in R, (a,b,c,d) \mapsto (A,B,C,D) \in R$.
Soit $M = \pmatrix{A & B \\ C & D} \in M_4(R)$ et $m = \pmatrix{a & b \\ c & d} \in M_4(r)$ et $p(t) = \det(tI - m) \in r[t], P(t) = \det(tI - M) \in R[t]$.
$p(t)$ est séparable, ses racines sont distinctes et $r$ est un anneau intègre donc $m$ est diagonalisable dans $\overline{Frac(r)}$ donc $p(m) = 0 \in M_4(r)$.
$f$ s'étend naturellement en un morphisme $M_4(r) \to M_4(R)$ et ce morphisme est compatible avec $M \mapsto \det(tI-M)$.
Donc $P(M) = f(p(m)) = 0 \in M_4(R)$.
Autrement dit aussi bizarre que soit ton anneau au départ, pour $A,B,C,D \in R$, l'ensemble des polynômes en $A,B,C,D$ à coefficients entiers est un sous-anneau de $R$ qui est l'image d'un morphisme venant de $\Bbb{Z}[a,b,c,d]$ et donc si Caley Hamilton est vrai dans ce dernier alors il est vrai pour $ \pmatrix{A & B \\ C & D} \in M_4(R)$.
Merci pour la clarification. C'est marrant comme méthode de démonstration, je crois que je ne l'avais jamais vue (ou en tout cas je ne m'en souviens pas), je me doute que c'est classique en algèbre.
Corto : oui c'est très sympa, ça permet notamment de simplifier par des $\det$ qu'on ne devrait pas pouvoir simplifier :-D