Nombre minimal de transvections
Bonjour,
J'ai lu que le nombre minimal de transvection dans la décomposition d'une matrice inversible $A$ est $n+1$ si $A$ n'est pas un homothétie et $n$ sinon.
Pour moi une transvection c'est $I_{n} + \lambda E_{i,j}$. En utilisant les opérations élémentaires je ne vois pas du tout comment arriver à $n+1$. Ma méthode utilise beaucoup de transvections.
Avez vous une référence ?
Merci d'avance, au plaisir de vous lire.
J'ai lu que le nombre minimal de transvection dans la décomposition d'une matrice inversible $A$ est $n+1$ si $A$ n'est pas un homothétie et $n$ sinon.
Pour moi une transvection c'est $I_{n} + \lambda E_{i,j}$. En utilisant les opérations élémentaires je ne vois pas du tout comment arriver à $n+1$. Ma méthode utilise beaucoup de transvections.
Avez vous une référence ?
Merci d'avance, au plaisir de vous lire.
Réponses
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Dans quelle décomposition ? Certaines matrices inversibles ("la plupart") ne s'écrivent pas comme produit de transvections (sauf si on autorise $i=j$, mais ce n'est pas fait usuellement)
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Les transvections et dilatations engendrent le groupe linéaire. Je parle du nombre minimal de transvections.
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Je pense qu'il s'agit de transvections au sens vectoriel : en traduction matricielle, il s'agit des matrices de la forme
$I_n+N$ avec $N$ nilpotente de rang $1$. -
J'ai l'impression que c'est la même chose : https://fr.wikipedia.org/wiki/Transvection
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Avez-vous une référence de la preuve que je cherche ?
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Non, ça n'est pas la même chose : attention au choix de base !
Une référence : le "Cours d'Algèbre" de Daniel Perrin, chapitre IV exercice 7. -
Hum...
Par exemple ici : https://www.math.u-psud.fr/~harari/exposes/geom.pdf
On traite du sujet d'une manière différente de celle que je connais : Le pivot de Gauss, les matrices de transvections, dilatations et permutations pour effectuer des opérations sur les colonnes et les lignes. (La méthode 1).
La méthode que je connais est très visuelle.
Pour me familiariser avec la nouvelle méthode (la méthode 2) quelles sont ses avantages par rapport à la méthode 1 ? Est-ce plus général ? Est-ce vraiment grave de se placer dans une base ? La méthode 1 permet elle de donner le nombre minimal de transvection ?
J'ai l'impression que la méthode 1 est général, je ne l'ai pas étudiée mais ne s'applique-t-elle pas aussi dans les modules pour le théorèmes des facteurs invariants ?
Cf : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_facteurs_invariants#Échelonnement_des_matrices_à_coefficients_dans_un_anneau_euclidien -
Une matrice représentant une transvection n'est pas toujours une matrice de transvection. Cela permet normalement de comprendre pourquoi il est plus difficile de réaliser des décompositions de petites longueurs avec des matrices de transvection (i.e. de la forme $I_n+\lambda E_{i,j}$ avec $i \neq j$) qu'avec des matrices représentant des transvections.
Au passage, la remarque page 5 du texte que vous proposez montre que son auteur n'a pas suffisamment réfléchi à la question : en particulier le résultat qu'il donne est faux (et je ne parle pas des suggestions de méthode)...
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