Loi du produit scalaire

Smith
Smith
dans Algèbre
Bonjour
Je suis en train de lire un écrit sur la question suivante.

Si deux vecteurs $u,v\in\mathbb{R}^n$ sont choisis aléatoirement sur la sphère euclidienne $S_{n-1}$ quelle est la loi du produit scalaire $\langle u,v\rangle$ ?

La première chose que fait l'auteur c'est de munir la sphère d'une mesure de probabilité uniforme, ce qui se fait "aisément" avec le changement en coordonnées sphériques sur $\mathbb{R}^n.$
Ensuite vient la phrase suivante.
"Le problème étant invariant par rotation il est équivalent au problème suivant : le vecteur $v=(1,0,\ldots,0)$ étant fixé dans $S_{n-1}$ on cherche la loi de $X_n:=\langle u,v\rangle$ lorsque $u$ parcourt $S_{n-1}$ blabla."

Ma question porte sur le fait qu'on puisse passer de $v$ quelconque sur la sphère à $v=(1,0,\ldots,0)$. Bon le produit scalaire est invariant par rotation donc la question est :
comment par rotation je peux passer de $v=(v_1,\ldots,v_n)$ à $v=(\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2},0,\ldots,0)$ (avec $\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}=\sqrt{1}=1$ mais peu importe) ?
En devinant (et vulgairement en dimension $2$) j'ai l'impression que on a fait un changement de base où le module en polaire $r$ devient $r\vert v\vert$. Je pense que c'est l'idée mais je suis bien incapable de le montrer.

PS: je pense que c'est bien une question d'algèbre, certes très enfantine mais bon je suis un enfant.

Réponses

  • paf
    paf
    Bonjour,

    Tu peux raisonner en dimension 2 en te restreignant au plan vectoriel engendré par $v$ et $e_1 = (1,0,\dots,0)$. Tu trouves une rotation dans ce plan qui envoie $v$ sur $e_1$ et tu la complètes en dimension $n$ en l'identité sur le supplémentaire orthogonal de ce plan.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Soit $A$ un borélien de $\mathbb R$.

    $\int_{S^{n-1}}\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)d\mu (v)=\int_{S^{n-1}}(\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u))d\mu (v)$.

    Or à $v$ fixé, $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)$ est égal à $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u)$ où $v_0= (1,0,...0)$, car la mesure sur $S^{n-1}$ est $SO(n)$-invariante et il existe une rotation envoyant $v$ sur $v_0$.

    Donc $\int_{S^{n-1}}\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)d\mu (v) = \int_{S^{n-1}} \int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) d\mu(v)$. Sauf que maintenant le truc du milieu ne dépend pas de $v$, donc cette quantité est égale à $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) \mu(S^{n-1})$

    $\mu$ est une mesure de probabilité, donc $\mu(S^{n-1}) = 1$.

    Donc finalement $\mathbb{P}(\langle u,v\rangle \in A) = \mathbb P (\langle u, v_0\rangle \in A)$
  • Smith
    Smith
    Merci à tous les deux.

    Maxtimax: qu'est-ce que $SO(n)$? Ton argument marche aussi si on était sur la sphère non unitaire, non? Au lieu de $1$ on aurait la norme euclidienne?

    J'ai l'impression que ça se généralise bien aussi à la boule pleine non unitaire et pour toute fonction intégrable pour la mesure.

    Qu'en penses-tu?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    $SO(n)$ c'est juste le groupe des rotations, je pensais écrire précisément l'invariance mais du coup ce n'était pas nécessaire.
    Oui, ça marche pour n'importe quelle sphère.

    Si tu veux généraliser à $f(u,v)$ il faut qu'à $u$ fixé, $f(u,-)$ soit invariante par rotations.
    Cela ne se généralise pas à une boule pleine de cette manière là puisque les rotations n'agissent pas transitivement sur ladite boule (elles préservent la norme)
  • Smith
    Smith
    Hum. Ok il faut que j'aille doucement.
    Dans ton argument pour l'invariance tu fais un changement de variable avec une rotation qui envoie $v$ sur $v_0$ et donc tu utilises l'invariance du produit scalaire et ainsi la généralisation évidente pour $f$ avec la condition d'invariance.
    Les rotations préservent la norme ok. Si je prends un vecteur $u$ sur une boule et $v$ ailleurs je peux trouver une rotation qui envoie $v$ sur $(\Vert v\Vert, 0,\ldots,0)=v_0$.

    Ce que tu dis c'est que l'intégrale ne sera plus égale à
    $\int_{B(0,r]}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) (B(0,r])$? Où tu dis qu'il faut faire autrement?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Le problème dans ta dernière écriture c'est que là ton $v_0$ doit dépendre de $v$ (puisqu'il dépend de $||v||$ et que celle-ci varie dans $B(0,r)$)

    Tu auras donc $\int_{B(0,r)} \int_{B(0,r)} 1_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) d\mu(v)$. Après tu peux naturellement changer de coordonnées, tu obtiens alors (à un ensemble de mesure nulle près ça marche - et aussi modulo mes erreurs de calcul, je suis pas très doué en probas) $$

    \int_{S^{n-1}}\int_ {]0, r]} \int_{B(0,r)} 1_{\langle u, t v\rangle \in A} t^n d\mu(u)d\mu(t)d\mu(v).

    $$ À ce moment là tu peux faire jouer l'invariance par rotation pour le terme $v$, et tu obtiens $$\mu(S^{n-1}) \int_{]0,r]} \int_{B(0,r)} 1_{\langle u, (t,0,\ldots,0)\rangle\in A} t^n d\mu(u) d\mu(t).

    $$ Mes calculs ne sont peut-être pas bons, mais ce qui est certain c'est que sur la boule tu dois garder une forme de dépendance en $v$ (ici je l'ai réduite à "dépendance en la norme uniquement", ce qui est essentiellement le mieux qu'on puisse espérer puisqu'on ne peut pas se débarrasser de cette dernière via des rotations)
  • Smith
    Smith
    Oui effectivement la suite ne fonctionne pas. Mais la première ligne oui.

    J'ai bien compris, merci ton aide.
  • Smith
    Smith
    En fait non, je ne sais pas prouver ta deuxième ligne Maxtimax. L'égalité des intégrales (invariance de rotation).

    Peux-tu, je te prie, détailler ?
  • P.
    P.
    Soit $f$ continue sur $ [-1,1],$ soit $e_1$ le vecteur $(1,0,0,\ldots,0)$. Soit $U,V$ independantes sur $S_{n-1}$ avec $U$ uniforme sur $S_{n-1}$ et $V$ de loi quelconque telle que $\Pr(V=\pm e_1)=0.$ Soit $v\in S_{n-1}$ avec $v\neq\pm e_1$ et $a_v\in SO(n)$ defini par $a_v(x)=x$ si $\langle x,v\rangle)=\langle x,e_1\rangle=0$ et $a_v(v)=e_1.$ Alors $a_v(U)$ est uniforme et donc $a_V(U)$ aussi. Alors $$\mathbb{E}(f(\langle U,V\rangle))=\mathbb{E}[\mathbb{E}(f(\langle U,V\rangle)|V)]=\mathbb{E}[\mathbb{E}(f(\langle a_V(U),a_V(V)\rangle)|V)]=\mathbb{E}[\mathbb{E}(f(\langle a_V(U),e_1\rangle)|V)]=\mathbb{E}(f(\langle a_V(U),e_1\rangle)=\mathbb{E}(f(\langle U,e_1\rangle).$$
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Smith : quelle deuxième ligne ?
  • Smith
    Smith
    Maxtimax écrivait :
    > Or à $v$ fixé,
    > $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)$ est égal à
    > $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u)$ où $v_0= (1,0,...0)$, car la
    > mesure sur $S^{n-1}$ est $SO(n)$-invariante et il existe une rotation envoyant $v$ sur $v_0$.

    Celle-ci, je ne vois pas comment tu utilises la rotation et l’invariance pour montrer l'égalité.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Soit $g$ une rotation telle que $gv_0 = v$. On écrit alors $\langle u, v\rangle = \langle g^{-1}u, v_0\rangle$, puis on utilise le fait que $\mu$ est $g^{-1}$-invariante (car c'est une rotation) pour dire que pour toute fonction $f$, $\int_{S^{n-1}}f(g^{-1}u)d\mu(u) = \int_{S^{n-1}}fd\mu$.

    Ce dernier point est ou bien la définition d'invariance, ou bien tu peux le prouver en le prouvant d'abord pour les indicatrices, puis les fonctions escaliers, puis en concluant par densité.
  • Smith
    Smith
    Oui je suis bête j'avais écrit ça puis oublié.

    Merci à toi.
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