Loi du produit scalaire
Bonjour
Je suis en train de lire un écrit sur la question suivante.
Si deux vecteurs $u,v\in\mathbb{R}^n$ sont choisis aléatoirement sur la sphère euclidienne $S_{n-1}$ quelle est la loi du produit scalaire $\langle u,v\rangle$ ?
La première chose que fait l'auteur c'est de munir la sphère d'une mesure de probabilité uniforme, ce qui se fait "aisément" avec le changement en coordonnées sphériques sur $\mathbb{R}^n.$
Ensuite vient la phrase suivante.
"Le problème étant invariant par rotation il est équivalent au problème suivant : le vecteur $v=(1,0,\ldots,0)$ étant fixé dans $S_{n-1}$ on cherche la loi de $X_n:=\langle u,v\rangle$ lorsque $u$ parcourt $S_{n-1}$ blabla."
Ma question porte sur le fait qu'on puisse passer de $v$ quelconque sur la sphère à $v=(1,0,\ldots,0)$. Bon le produit scalaire est invariant par rotation donc la question est :
comment par rotation je peux passer de $v=(v_1,\ldots,v_n)$ à $v=(\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2},0,\ldots,0)$ (avec $\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}=\sqrt{1}=1$ mais peu importe) ?
En devinant (et vulgairement en dimension $2$) j'ai l'impression que on a fait un changement de base où le module en polaire $r$ devient $r\vert v\vert$. Je pense que c'est l'idée mais je suis bien incapable de le montrer.
PS: je pense que c'est bien une question d'algèbre, certes très enfantine mais bon je suis un enfant.
Je suis en train de lire un écrit sur la question suivante.
Si deux vecteurs $u,v\in\mathbb{R}^n$ sont choisis aléatoirement sur la sphère euclidienne $S_{n-1}$ quelle est la loi du produit scalaire $\langle u,v\rangle$ ?
La première chose que fait l'auteur c'est de munir la sphère d'une mesure de probabilité uniforme, ce qui se fait "aisément" avec le changement en coordonnées sphériques sur $\mathbb{R}^n.$
Ensuite vient la phrase suivante.
"Le problème étant invariant par rotation il est équivalent au problème suivant : le vecteur $v=(1,0,\ldots,0)$ étant fixé dans $S_{n-1}$ on cherche la loi de $X_n:=\langle u,v\rangle$ lorsque $u$ parcourt $S_{n-1}$ blabla."
Ma question porte sur le fait qu'on puisse passer de $v$ quelconque sur la sphère à $v=(1,0,\ldots,0)$. Bon le produit scalaire est invariant par rotation donc la question est :
comment par rotation je peux passer de $v=(v_1,\ldots,v_n)$ à $v=(\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2},0,\ldots,0)$ (avec $\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}=\sqrt{1}=1$ mais peu importe) ?
En devinant (et vulgairement en dimension $2$) j'ai l'impression que on a fait un changement de base où le module en polaire $r$ devient $r\vert v\vert$. Je pense que c'est l'idée mais je suis bien incapable de le montrer.
PS: je pense que c'est bien une question d'algèbre, certes très enfantine mais bon je suis un enfant.
Réponses
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Bonjour,
Tu peux raisonner en dimension 2 en te restreignant au plan vectoriel engendré par $v$ et $e_1 = (1,0,\dots,0)$. Tu trouves une rotation dans ce plan qui envoie $v$ sur $e_1$ et tu la complètes en dimension $n$ en l'identité sur le supplémentaire orthogonal de ce plan. -
Soit $A$ un borélien de $\mathbb R$.
$\int_{S^{n-1}}\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)d\mu (v)=\int_{S^{n-1}}(\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u))d\mu (v)$.
Or à $v$ fixé, $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)$ est égal à $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u)$ où $v_0= (1,0,...0)$, car la mesure sur $S^{n-1}$ est $SO(n)$-invariante et il existe une rotation envoyant $v$ sur $v_0$.
Donc $\int_{S^{n-1}}\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)d\mu (v) = \int_{S^{n-1}} \int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) d\mu(v)$. Sauf que maintenant le truc du milieu ne dépend pas de $v$, donc cette quantité est égale à $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) \mu(S^{n-1})$
$\mu$ est une mesure de probabilité, donc $\mu(S^{n-1}) = 1$.
Donc finalement $\mathbb{P}(\langle u,v\rangle \in A) = \mathbb P (\langle u, v_0\rangle \in A)$ -
Merci à tous les deux.
Maxtimax: qu'est-ce que $SO(n)$? Ton argument marche aussi si on était sur la sphère non unitaire, non? Au lieu de $1$ on aurait la norme euclidienne?
J'ai l'impression que ça se généralise bien aussi à la boule pleine non unitaire et pour toute fonction intégrable pour la mesure.
Qu'en penses-tu? -
$SO(n)$ c'est juste le groupe des rotations, je pensais écrire précisément l'invariance mais du coup ce n'était pas nécessaire.
Oui, ça marche pour n'importe quelle sphère.
Si tu veux généraliser à $f(u,v)$ il faut qu'à $u$ fixé, $f(u,-)$ soit invariante par rotations.
Cela ne se généralise pas à une boule pleine de cette manière là puisque les rotations n'agissent pas transitivement sur ladite boule (elles préservent la norme) -
Hum. Ok il faut que j'aille doucement.
Dans ton argument pour l'invariance tu fais un changement de variable avec une rotation qui envoie $v$ sur $v_0$ et donc tu utilises l'invariance du produit scalaire et ainsi la généralisation évidente pour $f$ avec la condition d'invariance.
Les rotations préservent la norme ok. Si je prends un vecteur $u$ sur une boule et $v$ ailleurs je peux trouver une rotation qui envoie $v$ sur $(\Vert v\Vert, 0,\ldots,0)=v_0$.
Ce que tu dis c'est que l'intégrale ne sera plus égale à
$\int_{B(0,r]}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) (B(0,r])$? Où tu dis qu'il faut faire autrement? -
Le problème dans ta dernière écriture c'est que là ton $v_0$ doit dépendre de $v$ (puisqu'il dépend de $||v||$ et que celle-ci varie dans $B(0,r)$)
Tu auras donc $\int_{B(0,r)} \int_{B(0,r)} 1_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u) d\mu(v)$. Après tu peux naturellement changer de coordonnées, tu obtiens alors (à un ensemble de mesure nulle près ça marche - et aussi modulo mes erreurs de calcul, je suis pas très doué en probas) $$
\int_{S^{n-1}}\int_ {]0, r]} \int_{B(0,r)} 1_{\langle u, t v\rangle \in A} t^n d\mu(u)d\mu(t)d\mu(v).
$$ À ce moment là tu peux faire jouer l'invariance par rotation pour le terme $v$, et tu obtiens $$\mu(S^{n-1}) \int_{]0,r]} \int_{B(0,r)} 1_{\langle u, (t,0,\ldots,0)\rangle\in A} t^n d\mu(u) d\mu(t).
$$ Mes calculs ne sont peut-être pas bons, mais ce qui est certain c'est que sur la boule tu dois garder une forme de dépendance en $v$ (ici je l'ai réduite à "dépendance en la norme uniquement", ce qui est essentiellement le mieux qu'on puisse espérer puisqu'on ne peut pas se débarrasser de cette dernière via des rotations) -
Oui effectivement la suite ne fonctionne pas. Mais la première ligne oui.
J'ai bien compris, merci ton aide. -
En fait non, je ne sais pas prouver ta deuxième ligne Maxtimax. L'égalité des intégrales (invariance de rotation).
Peux-tu, je te prie, détailler ? -
Soit $f$ continue sur $ [-1,1],$ soit $e_1$ le vecteur $(1,0,0,\ldots,0)$. Soit $U,V$ independantes sur $S_{n-1}$ avec $U$ uniforme sur $S_{n-1}$ et $V$ de loi quelconque telle que $\Pr(V=\pm e_1)=0.$ Soit $v\in S_{n-1}$ avec $v\neq\pm e_1$ et $a_v\in SO(n)$ defini par $a_v(x)=x$ si $\langle x,v\rangle)=\langle x,e_1\rangle=0$ et $a_v(v)=e_1.$ Alors $a_v(U)$ est uniforme et donc $a_V(U)$ aussi. Alors $$\mathbb{E}(f(\langle U,V\rangle))=\mathbb{E}[\mathbb{E}(f(\langle U,V\rangle)|V)]=\mathbb{E}[\mathbb{E}(f(\langle a_V(U),a_V(V)\rangle)|V)]=\mathbb{E}[\mathbb{E}(f(\langle a_V(U),e_1\rangle)|V)]=\mathbb{E}(f(\langle a_V(U),e_1\rangle)=\mathbb{E}(f(\langle U,e_1\rangle).$$
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Smith : quelle deuxième ligne ?
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Maxtimax écrivait :
> Or à $v$ fixé,
> $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v\rangle \in A} d\mu (u)$ est égal à
> $\int_{S^{n-1}}\mathbb{1}_{\langle u, v_0\rangle \in A} d\mu (u)$ où $v_0= (1,0,...0)$, car la
> mesure sur $S^{n-1}$ est $SO(n)$-invariante et il existe une rotation envoyant $v$ sur $v_0$.
Celle-ci, je ne vois pas comment tu utilises la rotation et l’invariance pour montrer l'égalité. -
Soit $g$ une rotation telle que $gv_0 = v$. On écrit alors $\langle u, v\rangle = \langle g^{-1}u, v_0\rangle$, puis on utilise le fait que $\mu$ est $g^{-1}$-invariante (car c'est une rotation) pour dire que pour toute fonction $f$, $\int_{S^{n-1}}f(g^{-1}u)d\mu(u) = \int_{S^{n-1}}fd\mu$.
Ce dernier point est ou bien la définition d'invariance, ou bien tu peux le prouver en le prouvant d'abord pour les indicatrices, puis les fonctions escaliers, puis en concluant par densité. -
Oui je suis bête j'avais écrit ça puis oublié.
Merci à toi.
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