Espace vectoriel quotient

Je bloque sur un problème de MPSI qui définit et étudie les espaces vectoriels quotients. Pour l'instant, les questions précédentes ont déjà montré :
1) la décomposition canonique d'une application linéaire.
2) si $F$ est un sev d'un ev $E$ alors l'ensemble des sev de $E$ contenant $F$ est équipotent à l'ensemble des sev de $E/F$ via $V\mapsto s(V)$ avec $s:E\rightarrow E/F$ la surjection canonique.

Venons-en à ma question :
Soit $F$ un sev d'un ev $E$ et $G$ un sev de $F$. Il s'agit de montrer que $(E/G)/(F/G)$ et $E/F$ sont isomorphes. Déjà, on vérifie que $F/G$ est un sev de $E/G$ donc tous les termes sont bien définis. Ensuite on note $\varphi:E\rightarrow E/G$ et $\phi:E/G\rightarrow (E/G)/(F/G)$ les surjections (linéaires) canoniques. La composée $\phi\circ\varphi:E\rightarrow (E/G)/(F/G)$ est donc linéaire et surjective. Donc pour obtenir le résultat en utilisant (1) on a envie de montrer que son noyau est $F$. Or c'est ce dernier truc que je n'arrive pas à montrer : $\ker(\phi\circ\varphi)=F$ :

$\ker(\phi\circ\varphi)=(\phi\circ\varphi)^{-1}(F/G)$ car $F/G$ est le vecteur nul de $(E/G)/(F/G)$
$=\varphi^{-1}(\phi^{-1}(F/G))$
$=\varphi^{-1}(\ker(\phi))$
$=\varphi^{-1}(F/G)$
Et je ne comprends pas pourquoi cette dernière ligne est égale à $F$.