Dimension d'un sev
dans Algèbre
Bonjour
Voici sur quoi je sèche.
Soit $E$ un ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E$ de dimension $p$.
Soit $\quad A=\left\{u\mid u\in\text{L}(E)\text{ et }u(F)\subset{F}\right\}.$ Montrer que $$\dim\,A = n^2-n\,p+p^2. $$ Merci pour votre aide.
Bonne soirée.
Voici sur quoi je sèche.
Soit $E$ un ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E$ de dimension $p$.
Soit $\quad A=\left\{u\mid u\in\text{L}(E)\text{ et }u(F)\subset{F}\right\}.$ Montrer que $$\dim\,A = n^2-n\,p+p^2. $$ Merci pour votre aide.
Bonne soirée.
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Réponses
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PS : passage en noir.
et utiliser que $E = F \oplus H$
"On pourra considérer une base de E dans laquelle la matrice de tout élément de A est triangulaire par blocs".
Autrement dit, il faut se servir de la caractérisation matricielle de la stabilité de F.
Pour toute suite exacte d'e.v : $$
0 \overset{f_0}{\longrightarrow} V_1 \overset{f_1}{\longrightarrow} V_2\overset{f_2}{\longrightarrow}\,\cdots\,\longrightarrow V_n \overset{f_n}{\longrightarrow} 0,
$$ on a : $$ \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \dim(V_k) = 0,
$$ qui se démontre facilement via le Théorème du rang.
Dans le cas qui nous concerne on a la suite exacte $$0\longrightarrow A \overset{f_1}{\longrightarrow} L(E) \overset{f_2}{\longrightarrow} Hom(F,E) \overset{f_3}{\longrightarrow} L(F) \longrightarrow 0 .
$$ Avec les $f_i$ appropriés à trouver donc (:P)
Bon après les $f_i$ ne sont pas si compliqués à trouver... $f_1$ est l'inclusion naturelle, et $f_2$, $f_3$ se construisent via des compositions avec des projections (on écrit $E=F\bigoplus U$ avec $U$ un supplémentaire quelconque et on considère les projections sur $F$ et $U$).
Et le résultat "tombe tout seul" en appliquant la formule des sommes alternées ci-dessus.
Maintenant que je me relis je me dis que cette solution est peut-être plus compliquée que les réponses précédentes...
En tout cas je la trouve cool, on peut l'utiliser pour trouver la caractéristique d'Euler des "polyèdres" (je ne vous apprends rien sûrement).
merci de vos enseignements.
J'apprends chaque fois que je viens sur le site.
S_U
merci de votre réponse (excuses de mon retard à répondre)
Si j'ai compris, (pas sùr) je prends une base formée de p vecteurs base de F et n-p vecteurs pour compléter.
Pourquoi triangulaire par blocs ?
Merci S_U
oui c'est bien ça, ensuite il faut que tu montres que si tu écris la matrice d'un élément de $A$ dans ta base (celle que tu mentionnes ci-dessus) alors elle aura l'air de celle montrée par Math Coss, triangulaire par blocs quoi.
Ensuite tu montres qu'en fait l'espace $A$ est isomorphe à l'espace des matrices triangulaires par blocs et la dimension de ce dernier n'est pas compliquée à trouver et donc tu auras trouvé la dimension de $A$.
\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & C
\end{pmatrix},
$$ où $A$ est une matrice $p\times p$, $B$ une matrice $p\times (n-p)$ et $C$ une matrice $(n-p)\times (n-p)$.
bonne soirée. S_U
1) l'injection $i_F: F \longrightarrow E$
2) l'injection $i_U: U \longrightarrow E $
3) la projection $p_F: E\longrightarrow F$
4) la projection $p_U: E\longrightarrow U$
ensuite on définit : $$
f_2:v\mapsto i_U\circ p_U\circ v\circ i_F\quad\text{ et }\quad f_3:e\mapsto p_F\circ e.
$$ Vu l'heure je ne garantis pas que la réponse est exacte... tu me diras s'il y a des erreurs.
Et je confirme ce que j'avais dit dans un message précédent, c'est beaucoup de complications pour pas grand chose.