Codes barres et division euclidienne

Bonjour
Je me place au niveau de la spé maths en TS.

On note $a_1,\ldots,a_{13}$ les 13 chiffres d'un code-barres, la clé $a_{13}$ est déterminée de façon à ce que l'entier $S=3\times (a_2+a_4+\cdots+a_{12})+a_1+a_3+\cdots+a_{13}$ soit un multiple de $10$.
On note $c=a_{13}$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $S-c$ par 10.
Montrer que lorsque $r\neq 0$ alors l'entier $10-r$ est une clé qui convient.

Éléments de réponse.
On suppose que $r\neq 0$, i.e. que $S-c$ n'est pas un multiple de $10$.
Comme $r$ est un entier compris entre $1$ et $9$ alors $10-r$ est un chiffre différent de $0$.
On peut donc poser $c=10-r$. Vérifions alors que $c$ convient, i.e. que $S$ est un multiple de $10$.
On a par définition de $r$ : $S-c=10q+r$ donc $S=10q+r+c=10q+r+10-r=10(q+1)$.
$S$ est donc bien un multiple de 10, donc la clé $c=10-r$ convient.

Ce qui me pose problème c'est de poser $c=10-r$ puisque $r$ est défini à partir de $c$.
J'ai l'impression que la seule chose que je sais c'est que $c=S-10q-r$.
Qu'est-ce qui m'autorise à poser $c=10-r$ ?
Suis-je clair dans ce qui me dérange ? Je me sens complètement embrouillé.
Merci pour vos éclaircissements.