Matrices réelles $4\times 4$

En posant $e'_3=e_1e_2$, on a ${e'_3}^2=e_1e_2e'_3=-\mathrm{id}$. On obtient une algèbre de quaternions (une algèbre à division) $H$ admettant pour base $(\mathrm{id},e_1,e_2,e'_3)$. Mais une telle algèbre admet un unique module de dimension réelle $4$ à isomorphisme près. Autrement dit, quitte à changer de base, on peut supposer que $e_1$ et $e_2$ sont les matrices de la multiplication par eux-mêmes dans $H$, c'est-à-dire \[e_1=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\begin{pmatrix}0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}.\]Les matrices $m$ telles que $me_1+e_1m=0=me_2+e_2m$ sont de la forme \[m=\begin{pmatrix}a & b & -c & -d \\
b & -a & -d & c \\
-c & d & -a & b \\
d & c & b & a\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \\
m^2+\mathrm{id}=\begin{pmatrix}
a^{2} + b^{2} + c^{2} - d^{2} + 1 & -2 \, c d & -2 \, b d & -2 \, a d \\
2 \, c d & a^{2} + b^{2} + c^{2} - d^{2} + 1 & 2 \, a d & -2 \, b d \\
2 \, b d & -2 \, a d & a^{2} + b^{2} + c^{2} - d^{2} + 1 & 2 \, c d \\
2 \, a d & 2 \, b d & -2 \, c d & a^{2} + b^{2} + c^{2} - d^{2} + 1
\end{pmatrix}.\]Si on impose la relation $m^2+\mathrm{id}=0$, on voit grâce au coefficient en haut à gauche que nécessairement $d\ne0$, d'où, en regardant le reste de la première colonne, $a=b=c=0$, puis $d^2=1$. Autrement dit, les seule valeurs possibles pour $e_3$ sont $\pm e_1e_2$. La famille que tu écris ne peut pas être libre.

PS : rectification de la coquille signalée par Gai Requin.

Aurais-je dit n'importe quoi ? C'est bien possible ! Cependant, de ce que je comprends de la table 5.10 dans Fibre bundles de Husemoller, notre algèbre ($C'_3$ pour Vogt, $C_3$ pour Husemoller : c'est possible ?) est isomorphe à $\newcommand{\H}{\mathbf{H}}\H\oplus\H$. Cela entraîne bien l'existence d'une représentation de dimension réelle $4$ mais elle ne satisfait pas nécessairement à la contrainte d'indépendance linéaire que veut imposer Gai Requin. Il n'y a peut-être pas de contradiction.

Sinon, je voulais bien écrire « module » mais je voulais dire « module simple » (sur l'algèbre des quaternions).

$\def\H{\mathbb H}\def\R‘{\mathbb R}$Vu. Mais peut-être que l'on ne peut pas tout faire d'un coup ? Il serait peut-être bon de finaliser d'abord les choses suivantes. Tous les produits tensoriels sont sur $\R$.

1. $\H \otimes \H \simeq M_4(\R)$.

2. Le théorème de stabilité qui dit que $C_{k+8} \simeq C_k \otimes M_{16}(\R)$. En particulier si $E$ est un $C_k$-module, alors $E \otimes \R^{16}$ est un $C_{k+8}$-module. Et $E \otimes \R^{16}$, c'est $E^{16}$. Pour les bébés : si on a un système de type $A_k$ sur $E$, on a un système de type $A_{k+8}$ sur $E^{16}$.

3. Ce théorème de stabilité s'obtient de la manière suivante (j'utilise les résultats sur $C_4$ et $C'_4$) :
$$
C_{k+8} \simeq C_{k+4} \otimes C_4 \simeq C_k \otimes C_4 \otimes C_4
$$
Et en utilisant $C_4 \simeq M_2(\H) = M_2(\R) \otimes \H$ :
$$
C_4 \otimes C_4 \simeq M_2(\R) \otimes M_2(\R) \otimes \H \otimes \H \simeq M_2(\R) \otimes M_2(\R) \otimes M_4(\R) \simeq M_{16}(\R)
$$

J'ai dit ``théorème de stabilité'' mais je voulais dire ``théorème de périodicité''.

$\def\M{\mathbb M}\def\H{\mathbb H}\def\R{\mathbb R}$@Gai-Requin
Je reviens sur des choses déjà étudiées, par exemple $C_6 \simeq \M_8(\R)$, et surtout sur l'involution principale et l'anti-involution principale d'une algèbre de Clifford. En ce qui concerne ces deux dernière notions, il nous faut des notations. J'ai consulté la littérature : Bourbaki, Husemoller, O'Meara (Introduction to quadratic forms), Haynes Miller (se méfier) et le bilan, c'est que chaque auteur utilise ses propres notations (parfois vachement faibles) et qu'elles sont en désaccord. J'ai quand même envie d'utiliser $x \mapsto \overline x$ pour noter l'anti-involution d'une algèbre de Clifford $C = C(V,q)$, qui est le seul anti-automorphisme de $C$ égal à l'identité sur $V$ (si j'ai bien compris le point 54.5 page 136 de O'Meara).

0. Je suis en désaccord avec Haynes Miller in http://math.mit.edu/~mdono/haynes-notes.pdf. J'attache bout de pages 4-5. Pas d'accord avec le fait que $\overline {e_i} = -e_i$. Je dis que l'on a $\overline {e_i} = e_i$. Confusion avec l'involution principale ?

1. Je reviens sur $C_6 \simeq \M_8(\R)$. En principe, on est clair sur $C_{k+4} \simeq C_k \otimes C_4$ et $C_4 \simeq \M_2(\H) = \H \otimes \M_2(\R)$ (les produits tensoriels sont pris sur $\R$). Donc, en se souvenant que $C_2 \simeq \H$ :
$$
C_6 \simeq C_2 \otimes C_4 \simeq \H \otimes \H \otimes \M_2(\R) \simeq \M_4(\R) \otimes \M_2(\R) = \M_8(\R)
$$
Les jours difficiles, il faudra se souvenir de cette chaîne de production et ne pas se contenter d'exhiber 6 matrices de $\M_8(\R)$ qui forment une $C_6$-base de Clifford.

2. J'ai passé l'involution principale de $C_6$ en une involution de $\M_8(\R)$. D'après le théorème de Skolem-Noether, c'est un automorphisme intérieur. Et comme c'est une involution, c'est de la la forme $M \mapsto PMP^{-1}$ avec $P^2$ matrice scalaire. Peut-on l'identifier (en étant clair sur l'isomorphisme $C_6 \simeq \M_8(\R)$ que l'on a choisi) ? Exemple dans lequel $E_{ij}$ désigne la base habituelle de $\M_8(\R)$ et M8Bar ce qui correspond sur $\M_8(\R)$ à l'involution principale de $C_6$.

[color=#000000]> M8Bar(E(1,2)) ;
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0 -1  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
> M8Bar(E(2,3)) ;    
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[/color]

Cela risque d'être chaud sans plus d'information.

3. En ce qui concerne l'anti-involution principale passée sur $\M_8(\R)$, disons $M \mapsto \overline M$, en utilisant la transposée et de nouveau Skolem-Noether, on tombe sur le fait $\overline M = Q\, {}^t \kern -2ptM\, Q^{-1}$ avec $Q^2$ scalaire. Ne pas me croire sur parole.

[color=#000000]> M8AntiBar(E(1,2)) ;                                                   
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0 -1  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
> M8AntiBar(E(2,3)) ;
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[/color]

4. A quoi sert tout ce fourbi ? Réponse : à RIEN. Sauf que cela permet de se rendre compte si on est vraiment clair ou pas concernant des choses sur lesquelles on pensait être clair. Par exemple, je dis que Haynes Miller se trompe en écrivant $\overline {e_i} = -e_i$. Moi, je dis que $\overline {e_i} = e_i$. Eh bien, on ne peut pas avoir raison tous les deux. J'accepte de me tromper mais je veux le savoir.

Je ne comprends absolument pas. Involution principale sur les algèbres de Clifford, je n'en connais qu'UNE. Référence solide : Bourbaki, Algèbre, chap 9, Formes sesquilinéaires et formes quadratiques, section 9 (Algèbres de Clifford).

Je rattache un extrait de la doc de magma. Certes, ce n'est pas Bourbaki mais les implémenteurs en connaissent un rayon.

$\def\H{\mathbb H}$Suite. Ton dernier post est pertinent. Et il est sous-entendu qu'il relié à $C_2 \simeq \H$ VIA $e_1 \leftrightarrow i$ et $e_2 \leftrightarrow j$ (of course $e_1,e_2$ est une Clifford-base de $C_2$). On est d'accord ? Rien ne brûle dans la cuisine ?

$\def\M{\mathbb M}$Ok, on est d'accord. Je retire donc ce que j'ai dit à propos du haut de la page 5 de Miller. Qui a mis, si je peux me permettre cette légère précision, l'involution principale et l'anti-involution principale à la poubelle. Je suis lourd, hein ?

Autre chose : on dispose d'un automorphisme disons $\theta : \M_8(\R) \to \M_8(\R)$ (celui qui correspond à l'involution principale de $C_6$ mais peu importe). Je sais le calculer i.e. je sais déterminer les $\theta(E_{ij})$. Et je crois à Skolem-Noether. Toi aussi, n'est ce pas ? Comment je peux certifier que $\theta$ est un automorphisme intérieur ? En clair : trouver $P \in \M_8(\R)$ inversible $\theta(M) = PMP^{-1}$ ?

$\def\M{\mathbb M}\def\H{\mathbb H}\def\R{\mathbb R}$Ton AVANT dernier post. No problemo. OUI, c'est cela. Résumons en notant (provisoirement) sur $\M_8(\R)$, $M \to M^*$ l'involution principale et $M \mapsto \overline M$ l'anti-involution principale de sorte que :
$$
M^* = P M P^{-1}, \qquad\qquad \overline M = P\ {}^t \kern -2ptM\ P^{-1}
$$
Peux tu, sous cette forme, (re)vérifier qu'elles commutent ? Tu vas utiliser une certaine propriété de $P$.

Et la composée de $M \mapsto M^*$ et $M \mapsto \overline M$, the so-called Miller-conjugation (so-called par nous autres), c'est qui ? Et il paraît qu'elle réalise $e_i \mapsto -e_i$. Et donc au niveau matriciel dans $\M_8(\R)$ ? Tiens pour rappel, $a_1, a_2$, les $a_i$ (tes $a_i$) étant celles pour lesquelles $e_i \mapsto a_i$

[color=#000000]> a1 ;
[ 0 -1  0  0  0  0  0  0]
[ 1  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0 -1  0  0  0  0]
[ 0  0  1  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0 -1  0  0]
[ 0  0  0  0  1  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0 -1]
[ 0  0  0  0  0  0  1  0]
> a2 ;
[ 0  0 -1  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  1  0  0  0  0]
[ 1  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0 -1  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0 -1  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  1]
[ 0  0  0  0  1  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0 -1  0  0]
[/color]

1. Est ce que nous ne sommes pas en train de mettre $\M_8(\R)$ en $C_6$-Clifford jusqu'au bout des ongles ?

2. Et l'involution principale, l'anti-involution principale d'une algèbre de Clifford, tu les connais depuis quand ?

Vu. Je mets cela (= réalisation effective de Skolem-Noether) en action tout de suite. Histoire de faire un exercice magma car je sais que j'ai la trouille : celui ci est très orienté en lignes alors que nous autres le sommes en colonnes. Cela pourrait être un peu chaud ? Au lieu de ta notation $P$, je prends $Q$. Je réserve $P$ pour le bouquet final. Attention également au sens de la conjugaison.

[color=#000000]> e1 := Vector(Q, [1, 0^^7]) ;     // Ici Q est le corps des rationnels !!                      
> e1 ;
(1 0 0 0 0 0 0 0)
> f := M8PrincipalInvolution ;                           
> E11 := E(1,1) ;
> ok, Q := IsSimilar(E11, f(E11)) ;
> ok ;
true
> Q ;
[0 0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1]
[0 0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0 0]
[1 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0 0]
> Q^-1*f(E11)*Q eq E11 ;                                                                                              
true
[/color]

Les choses de la vie en magma : on n'applique pas une matrice à un vecteur (comme nous autres en colonnes). On le fait dans l'autre sens : vecteur d'abord, matrice ensuite, avec le sens en lignes. Si on veut être nous autres, transposée quelque part. C'est parti mon kiki. Et j'insiste encore en disant que les vecteurs de magma sont couchés pas debout.

[color=#000000]> Cvector := e1 * Transpose(Q) ;                         
> tDvector := e1 * Q^-1 ;
> C := Transpose(Matrix(Cvector)) ;
> tD := Matrix(tDvector) ;
> C ;
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[0]
[0]
> tD ;
[0 0 0 0 1 0 0 0]
> f(E11) eq C*tD ;
true
[/color]

Bon, c'est bien parti. Allons y pour les $C_j$. Attention surtout à la transposée.

[color=#000000]> LesCj := [Cvector*Transpose(f(E(j,1))) : j in [1..8]] ;
> LesCj ;
[
    (0 0 0 0 1 0 0 0),
    ( 0  0  0  0  0 -1  0  0),
    ( 0  0  0  0  0  0 -1  0),
    (0 0 0 0 0 0 0 1),
    (-1  0  0  0  0  0  0  0),
    (0 1 0 0 0 0 0 0),
    (0 0 1 0 0 0 0 0),
    ( 0  0  0 -1  0  0  0  0)
]
[/color]

C'est moche visuellement mais c'est pas trop le problème.

Le bouquet final. Comme j'ai $P$ sous la main d'hier, je note $P_{\rm new}$ la matrice fournie par l'algorithme de Greg précisé par Gai-Requin

[color=#000000]> Pnew := Matrix(LesCj) ;
> Pnew ;
[ 0  0  0  0  1  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0 -1  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0 -1  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0  1]
[-1  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0  1  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0  1  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0 -1  0  0  0  0]
> P ;
[ 0  0  0  0 -1  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  1  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  1  0]
[ 0  0  0  0  0  0  0 -1]
[ 1  0  0  0  0  0  0  0]
[ 0 -1  0  0  0  0  0  0]
[ 0  0 -1  0  0  0  0  0]
[ 0  0  0  1  0  0  0  0]
> Pnew eq -P ;
true
[/color]

Of course, $P_{\rm new}$ fait autant l'affaire que $P$. Greg, Gai-Requin : 10/10.

Une petite question sur l'involution principale d'une algèbre de Clifford dans un contexte général. Contexte : $K$ un corps de caractéristique $\ne 2$, $(V,q)$ une forme quadratique non dégénérée sur un $K$-espace vectoriel $V$ de dimension PAIRE $k$. Je note $(e_1, \cdots, e_k)$ une base orthogonale de $V$ et $C$ l'algèbre de Clifford de $(V,q)$.

Une petite expérimentation m'a conduit à penser que l'involution principale de $C$, disons $x \mapsto x^*$ si on a besoin d'une notation, est l'automorphisme intérieur défini par $g = e_1\cdots e_k$ i.e. $x^* = g x g^{-1}$. Remarque : en posant $a_i = q(e_i)$, on a $g^2 = a =_{\rm def} a_1 \cdots a_k$, ce qui prouve que $g$ est bien inversible d'inverse $a^{-1}g$. Et en passant, que $gxg^{-1} = g^{-1}x g$.

Je te pose cette question car tu as fait le job pour $C_6$ et je me demande s'il n'y a pas un tour de main pour éviter trop de calculs. Il suffit de vérifier $e_i^* = g e_i g^{-1}$ i.e. $-e_i = g e_i g^{-1}$. Ou encore : est ce que tu as peiné pour $C_6$ (anti-commutation ..etc...) ?

Note : c'est spécifique à la dimension paire. En tout cas, ce que je raconte ci-dessus est faux en dimension impaire.

Clair ci-dessus ?

EDIT J'ai écrit $g^2 = a =_{\rm def} a_1 \cdots a_k$. Non : $g^2$ vaut $(-1)^{k(k+1) \over 2} a_1 \cdots a_k$ (et ceci quelque soit la parité de $k$). Ce qui ne change rien au reste.

$\def\M{\mathbb M}\def\C{\mathbb C}\def\R{\mathbb R}$Effectivement, ce n'est pas compliqué, une fois que c'est fait. Note : j'ai apporté un petit rectificatif sur $g^2$ qui est bien un scalaire : mais c'est $q(e_1) \cdots q(e_k)$ à un signe près seulement. Cela ne change rien à l'histoire.

Note : il paraît que $C_5 \simeq \M_4(\C)$. En tout cas, c'est bien vrai que $2^5 = 2 \times 4^2$, le $2 \times$ car dimension sur $\R$.

On peut toujours essayer, qu'est ce qu'on risque ?

$\def\C{\mathbb C} \def\R{\mathbb R} \def\H{\mathbb H}\def\mat#1#2#3#4{\left[\matrix {#1 & #2\cr #3&#4\cr}\right]}\def\trans#1{{\,^{\rm t}\!#1}}$1. Je suis d'accord avec toi sur le principe. Par ailleurs, est ce que ``tout ceci'' est ``utile'' (sic) ? Peut-être que cela permet de faire de vrais (re-sic) exercices sur les produits tensoriels (ici sur $\R$) ? Je reprends tes affaires :
$$
C_5 \simeq C'_3 \otimes C_2 \simeq M_2(\C) \otimes \H \simeq \C \otimes M_2(\R) \otimes \H
$$
A droite, il y a plusieurs manières de regrouper les produits tensoriels. Par exemple $\C \otimes \H = M_2(\C)$. Et on doit tomber sur $M_4(\C)$. Oublions les algèbres de Clifford. Ceci signifie que l'on a (rappel : produits tensoriels sur $\R$) des isomorphismes de $\R$-algèbres :
$$
\C \otimes M_2(\H) \simeq M_2(\C) \otimes \H \simeq M_2(\C) \otimes M_2(\R) \simeq M_4(\C)
\qquad \text{Après tout, le montrer peut permettre de passer du bon temps ??}
$$
2. Comme $C'_3$ intervenait pour $C_5$, je me suis posé la question : cela signifie quoi $C'_3 \simeq M_2(\C)$ ? J'ai voulu en savoir plus car peut-être que cela cache que la $\R$-algèbre $C'_3$ peut-être munie d'une structure plus ou moins naturelle de $\C$-algèbre ? On va voir que oui et qu'il faut vraiment penser au fait que $M_2(\C)$ est $M_2(\R)$ complexifiée. Je reprends des trucs de base avec une notation $e'_k$ vachement surchargée :
$$
C'_3 \simeq C_1 \otimes C'_2 \qquad \left| \begin {array} {l} e'_1 = 1 \otimes e'_1 \\ e'_2 = 1 \otimes e'_2\\ e'_3 = e_1 \otimes e'_1e'_2 \end{array}\right.
\qquad\qquad
C_1 = \C \text { avec } e_1 = i, \quad C'_2 = M_2(\R) \text { avec } e'_1 = \mat {0}{1}{1}{0}, \quad e'_2 = \mat {1}{0}{0}{-1}
$$
Ce qui installe sur $\C \otimes M_2(\R) = M_2(\C)$ une structure de $C'_3$-algèbre de Clifford via
$$
e'_1 = 1 \otimes e'_1 = e'_1 = \mat {0}{1}{1}{0}, \qquad e'_2 = 1 \otimes e'_2 = e'_2 = \mat {1}{0}{0}{-1}, \qquad
e'_3 = i \otimes e'_1 e'_2 = i \mat {0}{1}{1}{0} \mat {1}{0}{0}{-1} = \mat {0}{-i}{i}{0}
$$
Dans un $C'_3$ abstrait, on aimerait bien trouver un élément de carré $-1$, histoire de coller à $C'_3$ une structure de $\C$-algèbre. Il y en a un qui nous tend les bras : ci-dessus, on voit quelque chose du type $e'_3 = ie'_1e'_2$ : on a plus qu'à prendre $i = e'_3e'_2e'_1$. Pour la paix des âmes, c'est peut-être préférable de poser $i' = e'_3 e'_2 e'_1$, de vérifier que $i'$ est de carré $-1$ (ce qui m'a permis de vérifier que je me suis encore gourré en ce qui concerne un signe dans le carré de $e_1 \cdots e_k$ en général). Et la structure complexe sera $i \cdot x = i'x$.

Bref, en arrêtant la coquetterie de la notation $i'$, on a $C'_3 = M_2 \oplus iM_2$ où $M_2 \simeq M_2(\R)$ est la $\R$-algèbre engendrée par $e'_1, e'_2$ (qui sont bien réelles). On a ainsi la main sur $C'_3$ et on peut se poser la question d'identifier l'involution principale et l'anti-involution principale.
$\bullet$ Involution anti-principale. C'est un $\R$-anti-automorphisme de $M_2(\C)$ qui doit fixer $e'_1, e'_2, e'_3$. On se doute que la conjugaison complexe intervient. Et on finit par tomber sur $M \mapsto \trans{\overline M}$. Ici $\overline M$ est à considérer au sens de la conjugaison complexe.
$\bullet$ Involution principale. Cela a été un peu plus chaud : c'est un $\R$-automorphisme involutif de $M_2(\C)$ qui doit réaliser $e'_k \mapsto -e'_k$. Mais pas un $\C$-automorphisme donc non intérieur. Je passe les détails mais je l'ai composé avec la conjugaison complexe en croisant les doigts : espoir d'obtenir un $\C$-automorphisme de $M_2(\C)$. Et ça l'a fait : en appliquant l'algorithme de Greg/Gai-Requin pour Skolem-Noether je suis tombé sur le fait que :
$$
\text{involution principale } : M \mapsto P \overline M P^{-1} = P^{-1} \overline M P \qquad\qquad P = \mat{0}{1}{-1}{0}
$$
Note : sur n'importe quel anneau de base, dans le cas des matrices $2 \times 2$, l'automorphisme intérieur $M \mapsto P M P^{-1}$, c'est $M \mapsto \trans{\widetilde M} = \widetilde {\trans M}$ où $\widetilde M$ est la co-matrice de $M$.
Bilan : pas mal de choses cachées dans $C'_3 \simeq M_2(\C)$. Et je ne dis pas tout : il a fallu par exemple que je retrouve les 4 matrices élémentaires $E_{ij}$ de $M_2(\C)$ dans $C'_3$:
$$
1 + e'_2 \leftrightarrow 2E_{11}, \qquad 1 - e'_2 \leftrightarrow 2E_{22}, \qquad (1 + e'_2)e'_1 \leftrightarrow 2E_{12}, \qquad (1 - e'_2) e'_1 \leftrightarrow 2E_{21}
$$
Tout ceci peut paraître un peu sordide mais il faut être cohérent. Lorsque l'on utilise les systèmes de Calcul Formel, il nous arrive d'apprécier les services rendus. Ces services ne se réalisent pas par l'opération du Saint Esprit (hum, qu'est ce qu'il vient faire là ?)

Produit tensoriel anti-commutatif ?? Je ne vois pas.

Autre chose, pour me rassurer. Soit $(e_1, \cdots, e_k)$ une base orthogonale de $(V,q)$ et $g = e_1\cdots e_k$ dans l'algèbre de Clifford $C = C(V,q)$. J'ai calculé $g^2$. La première fois j'ai trouvé $q(e_1) \cdots q(e_k)$. Une demi-heure après $(-1)^{k(k+1) \over 2} q(e_1) \cdots q(e_k)$. Et le lendemain $(-1)^{k(k-1) \over 2} q(e_1) \cdots q(e_k)$. Je n'ose pas essayer une quatrième fois.

Bon, adjugé pour $(-1)^{k(k-1) \over 2}$. Autre chose : en regardant les dimensions sur $\mathbb R$ des divers produits tensoriels qui interviennent pour $C_5$ de dimension $2^5$, on trouve des résultas d"arithmétique :
$$
2^5 = 2 \times 4^2 = (2 \times 2^2) \times 4 \text { (deux fois) } = 2 \times 4^2 \text { (d'une autre manière) }
$$