Dual, duale, duaux, dualité...

Peux-tu imaginer le ying sans le yang, Dupond sans Dupont, la gauche sans la droite, le haut sans le bas et le bas sans le haut, une maille à l'endroit sans une maille à l'envers ?

Bon, ben, voilà, c'est pareil.

La dualité remplace le produit scalaire là où on ne peut pas en mettre.

e.v.

Au sujet de « la dualité de façon générale » on trouve des exemples dans d’autres domaines que l’algèbre linéaire (mais c’est peut-être moi, je ne fais pas le lien...).

1) les solides de Platon.
On considère les sommets et les faces.
On choisit les centres de chaque face, ce sont les sommets d’un solide de Platon.
Ce nouveau solide est le dual de l’ancien.
Et on a (à similitude près) : dual(dual(solide))=solide.

2) les graphes.
On considère les sommets et les arêtes.
J’avais une idée naïve d’un graphe dual mais je me rends compte que c’est plus complexe que ce que j’avais en tête en allant voir sur Wiki.

3) la simple multiplication avec des entiers naturels.
$m\times n= n+n+...+n$ ($m$ termes tous égaux à $n$)
$n\times m=m+m+...+m$ ($n$ termes tous égaux à $m$)
On pourrait appeler cela le produit dual.
On a la magique relation d’égalité comme : $2+2+2+2+2=5+5$
(compter le nombre de termes dans chaque membre).
J’avais lu un article qui disait que pour calculer $100\times 2$ (ou équivalent) certains gamins « écoliers » avaient galéré (c’est long !) alors que d’autres, « non instruits » avaient donné la réponse instantanément.

4) la simple addition avec des entiers naturels.
L’application $\sigma$ nommée successeur.
On a $\sigma^m(n)=\sigma^n(m)$ (la puissance est celle appliquée sur la loi de composition).
Certes, comme pour la multiplication, c’est plus simplement la commutativité.

5) naïvement avec les relatifs et l’ascenseur :
Je pars du deuxième sous-sol (-2) et je monte de cinq étages (+5) m’emmène au même endroit que si je pars du cinquième étage et descends de deux étages.

Tout cela est naïvement intrigant, je trouve.

Pour continuer dans la voie de Dom, on peut se souvenir de la dualité entre ET et OU en logique (entre $\cup$ et $\cap$ en théorie des ensembles ou en probabilités), entre droite et point en géométrie affine ou projective, entre $L_p$ et $L_q$ (si $p\neq1$ et $q\neq1$ et $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$) … un numéro récent de Tangente a un dossier (incomplet d’ailleurs) sur la dualité.
Rien d’ébouriffant pour un matheux blanchi sous le harnais, en revanche pour un amateur ou pour un prof de base comme moi…

Comme chacun sait, étudier les objets, ce n'est pas intéressant. Ce qui est intéressant, c'est d'étudier les relations entre les objets – les morphismes de la catégorie que l'on étudie : morphismes entre groupes, morphismes entre anneaux, extensions de corps (eh oui, un morphisme de corps est automatiquement injectif), applications linéaires entre espaces vectoriels, applications continues ou différentiables ou polynomiales entre espaces, etc.

Pour caractériser (en dimension finie) une application linéaire $f:E\to F$, il est équivalent de se donner sa transposée ${}^t\varphi:F^*\to E^*$. Rappelons qu'elle est simplement définie ainsi : quand on se donne une fonction $f$ (linéaire, à valeurs dans le corps de base) sur $F$, on obtient une fonction (du même type) ${}^t\varphi(f)$ sur $E$ en composant par $\varphi$, tout simplement : ${}^t\varphi(f)=f\circ\varphi$. Un petit diagramme ne saurait nuire. \[\xymatrix{
E\ar[r]^{\varphi}\ar@{-->}[dr]_{{}^t\!\varphi(f)}&F\ar[d]^{f}\\&\R.}\]La justification est toute simple : la matrice de ${}^t\varphi$ (dans les bases duales) est la transposée de celle de $\varphi$ donc connaître l'une, c'est connaître l'autre.

Étendons ces considérations à un cadre non linéaire : au lieu de l'espace $E^*$ des fonctions linéaires sur $E$, on prend l'algèbre des fonctions polynomiales sur $E$ et $F$, qu'on va noter $\mathcal{O}(E)$ et $\mathcal{O}(F)$ pour faire fancy. La donnée de $\varphi:E\to F$ induit une application $\varphi^*:\mathcal{O}(F)\to\mathcal{O}(E)$, $f\mapsto f\circ\varphi$ (« en sens inverse ») qui est un morphisme d'anneaux (exactement) quand $\varphi$ est polynomiale (i.e. les coordonnées de l'image sont des polynômes en les coordonnées du point).

C'est le fondement de la géométrie algébrique : au lieu d'étudier des applications entre des « variétés algébriques » $X$ et $Y$, on étudie les morphismes entre les algèbres des « fonctions régulières » (disons polynomiales pour simplifier) de $\mathcal{O}(Y)$ vers $\mathcal{O}(X)$. Autrement dit, plutôt qu'étudier les morphismes entre points, on choisit le point de vue dual de morphismes entre fonctions. Cela va si loin que l'on peut finalement pratiquement se passer des points – ou plutôt, élargir cette notion et considérer sur un même plan les points habituels, les sous-variétés et les points et sous-variétés qui apparaissent dans une extension de corps.

Si c'est la notion de dualité en général qui t'intéresse (j'avais cru comprendre que tu parlais uniquement de celle linéaire), il y a énormément d'exemples en maths : dualité de Pontryagin, de Cartier, de Poincaré, d'Alexander ...
Il y a la dualité syntaxe-sémantique (mot vague ici) en logique, des tas de dualité algèbre-topologie ou algèbre-géométrie ou algèbre-logique qui pointent leur nez dès qu'on fait gaffe

La notion de "dualité" est relativement vague au sens général. On peut lui donner des sens précis selon le contexte : algèbre linéaire, théorie des catégories, (co)homologie, ... mais le sens sera différent à chaque fois.
L'idée est à chaque fois de regarder quelque chose qui est "complémentaire" en un sens ou en un autre et d'inverser ce qu'il est pertinent d'inverser.
En algèbre linéaire c'est beaucoup plus concret, c'est passer par $E^*$ pour étudier $E$, et comme Math Coss ou moi avant l'avons fait remarquer c'est quelque chose de très naturel et ça peut mener loin.

Normal. Dans cet article, on parle d’une relation avec « P.».

;-)

Dans l'inégalité de Heisenberg, on voit apparaître (des versions quantiques de) grandeurs conjuguées, c'est-à-dire aussi peu orthogonales que possibles pour une forme symplectique. Sauf erreur, c'est semblable aux paires de grandeurs conjuguées (position, vitesse) en mécanique lagrangienne, ou (température, entropie), (pression, volume), (potentiel chimique, enthalpie libre) en thermodynamique.

Sinon, c'est presque étonnant que personne n'ait encore évoqué la transformation de Fourier : partant d'une fonction sur $\R^n$, on définit naturellement une fonction sur le dual de $\R^n$ (qui lui est identifié via le produit scalaire canonique). Avec $n=1$, on peut voir ça comme une dualité temps-fréquence. Ce n'est pas sans rapport avec la dualité de Pontryagin évoquée par Maxtimax.

totem : si tu veux t'amuser et prouver une version "bébé" de la dualité de Pontryagin, tu peux commencer par la prouver dans le cas des groupes abéliens finis : Si $G$ est un groupe abélien fini, alors $G\cong \hom(\hom(G,\mathbb C^\times), \mathbb C^\times)$. J'en avais rédigé une preuve accessible avec un bagage de prépa MP (peut-être pas trouvable seul.e pour un.e tel.le élève, cela dit)
(PS : ça s'avère être aussi un cas bébé de dualité de Cartier :-D )

Non ce n'est pas le cas. Déjà il n'y a aucun besoin d'hypothèse de non autodualité... ensuite le noyau dans $C$ est le conoyau dans $C^{op}$, pas l'image (l'image c'est le noyau du conoyau).

Non, homomorphisme, c'est-à-dire morphisme de groupes. Comment veux-tu parler d'homéomorphismes définis sur un groupe abstrait ?

Bonjour,

Totem a quelques difficultés en mathématiques qu'il a expliquées ailleurs, et demande des explications simples.
Il ne sert à rien de le gargariser avec des grands mots savants.
Par contre, il y a un dossier sur la dualité, compréhensible par des terminales ou des L1, dans le numéro 189 de la revue Tangente, paru en juillet-août 2019. On devrait pouvoir encore le trouver.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Pablo_Iznogoud veut être calife à la place du calife, c'est rigolo.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Il existe un petit bouquin très abordable de Danny-Jack Mercier sur la dualité en algèbre linéaire.

Cordialement,

Rescassol