Card(X).Card(Y)
Soit $X$ ct $Y$ deux sous-groupes d'un groupe $G$ fini de cardinal $N .$ On note $X Y$
l'ensemble $\{x y\}_{(x, y) \in X \times Y}$
a) Montrer que } $\operatorname{card}(X Y) \times \operatorname{card}(X \cap Y)= {\text { card }(X) \text { card }(Y)}.$
J'ai essayé de construire une relation d'équivalence $ \mathcal R$ sur $X \times Y $ tq:
si $a=(x_1,y_1)text{ et }b=(x_2,y_2) , \ a \mathcal R b\iff ((x_2)^{-1}.y_2)^{-1}.((x_1)^{-1}.y_1) \in A \cap B.$
J'ai montré que c'est une relation d'équivalence, mais je suis bloqué.
l'ensemble $\{x y\}_{(x, y) \in X \times Y}$
a) Montrer que } $\operatorname{card}(X Y) \times \operatorname{card}(X \cap Y)= {\text { card }(X) \text { card }(Y)}.$
J'ai essayé de construire une relation d'équivalence $ \mathcal R$ sur $X \times Y $ tq:
si $a=(x_1,y_1)text{ et }b=(x_2,y_2) , \ a \mathcal R b\iff ((x_2)^{-1}.y_2)^{-1}.((x_1)^{-1}.y_1) \in A \cap B.$
J'ai montré que c'est une relation d'équivalence, mais je suis bloqué.
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Réponses
Sauf erreur de ma part :
Tu construis une application : $ f \ : \ X \times Y \to ( XY ) \times ( X \cap Y ) $, puis tu montres qu'elle bijective. Non ?
$ab=xy \iff x^{-1}a=y b^{-1}$. En notant $d=x^{-1} a=yb^{-1}$, on a $d \in X \cap Y$.
En fait ça marche sans que $XY$ soit un groupe. Ok!
edit
On aurait pu faire un peu plus court que la démonstration de Marco, par exemple $ab=xy\rightarrow a(by^{-1})=x$, or $x\in X$ ainsi que $a$, d'où $by^{-1}$ nécessairement dans $X$ (et donc $X\cap Y$)
Re-edit: j'ai refait un bon gros hors-sujet, même dans la ligne précédente, qui ne fait que retracer ce qu'avait déjà fait Ahpa Tsum. Désolé :-D
Mais est-ce que tous les couples $(a,b)$ vont nous donner tous les éléments de $ A \cap B$.
c-à-d $\forall d \in A \cap B$ va s'écrire sous la forme $x^{-1}.a$ et $y.b^{-1}$
Pour la question $d=(ad)^{-1}a$ et $d=(db)b^{-1}$, $ad$ est dans $X$, $db$ est dans $Y$.
Edit: oups! petite boulette ci-dessus mais je suppose que tout-le-monde à corrigé, je voulais écrire $d=(ad^{-1})^{-1}$.