Espace vectoriel sur IR

Shadows Asgard · September 2019

Bien le bonjour,
je n'arrive pas à voir comment faire la question 1 de cet exercice pour montrer que E est un espace vectoriel.
Est-ce faisable avec la méthode de la caractérisation abstraite ?
C'est-à-dire: 1) E C IR
2) E différent de l'ensemble vide
3) E est stable par combinaison linéaire
Si oui, comment fait-on pour le point 2) pour montrer que l'élément nul appartient à E svp ?

Merci d'avance pour votre aide 89926

gerard0 · September 2019

Bonjour.

Si tu sais que l'ensemble des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ muni des opérations habituelles est un espace vectoriel, tu montres que ton E est un sous-espace vectoriel.. Sinon, tu appliques la définition.

Attention : E n'est pas inclus dans $\mathbb R$. C'est un ensemble d'applications, pas de réels (lis sérieusement l'énoncé).

Pour l'élément nul c'est la fonction nulle. Trouve les valeurs de a, b, c et d qui conviennent.

Cordialement.

Poirot · September 2019

Ce que tu proposes ne peut pas marcher : $E$ n'est pas inclus dans $\mathbb R$. Par contre il est inclus dans l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Les autres étapes vont fonctionner. C'est la méthode la plus simple.

Shadows Asgard · September 2019

Merci pour vos réponses gerard0 et Poirot.
Seulement je ne comprends pas bien, comment cela s'écrit mathématiquement que " E est inclus dans l'espace vectoriel des fonctions de R dans R" ? Est-ce que c'est " E C IR^2 " ?

Aussi gerard0 pour votre remarque pour le fait de montrer que l'élément nulle appartient à E, je ne vois pas du tout comment faire, pourriez-vous me montrer la rédaction svp ?

Car pour moi c'est la première fois que je vois ce type d'espace vectoriel.
Par exemple d'habitude je vois un espace vectoriel qui est l'ensemble des matrices M telles que AM=MA, alors pour montrer que l'élément nulle appartient à cet espace vectoriel je fais A0=0A=0 donc l'élément nulle appartient clairement à cet espace vectoriel, mais là je ne vois pas comment faire avec cet espace vectoriel.

Car il faut visiblement que je fasse : f(0)=(0+b).e^0 + (0+d).e^(-0)
mais le problème c'est que je ne sais pas si cette égalité est vraie car je ne connais pas la valeur de f(0).

De plus dans votre remarque gerard0 vous dites : "Trouve les valeurs de a, b, c et d qui conviennent."
Mais je n'ai pas le droit de prendre des valeurs particulières pour a, b, c et d car sinon je ne démontre pas le cas général ?

paf · September 2019

Sais-tu ce qu'est la fonction nulle ?

Poirot · September 2019

$\mathbb R^2$ est l'ensemble des couples d'éléments de $\mathbb R$. L'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est noté $\mathbb R^{\mathbb R}$.

Tu sembles confondre fonction et nombre réel. L'élément nul de ton espace doit être la fonction nulle, rien à voir avec un certain $f(0)$. Il s'agit de la fonction qui à tout réel $x$ associe $0$. Saurais-tu trouver des valeurs de $a,b,c$ et $d$ tels que la fonction $x \mapsto (ax+b)e^{2x}+(cx+d)e^{-2x}$ est cette fonction nulle ? Il n'y a pas besoin de beaucoup d'imagination. Il n'y a pas d'histoire de cas général, tu veux montrer que la fonction nulle est bien dans ton ensemble de fonctions, il te suffit donc, par définition de cet ensemble, de trouver des valeurs de $a,b,c$ et $d$ qui conviennent, cela voudra bien dire que la fonction nulle est de la forme voulue.

Shadows Asgard · September 2019

Oui c'est la fonction qui à tout élément associe "0".
Ah ! Oui je comprends où vous voulez en venir j'ai fait une erreur, on a pas f(0) mais là en l'occurence notre "f" qu'on prend c'est "0".
Donc on a plutôt : 0 =(0+b).e^0 + (0+d).e^(-0)

i.e. 0 = b + d
Mais le problème c'est que cette égalité je ne sais pas si c'est vrai, car b et d appartienne à IR donc on peut très bien avoir b=1 et d=1 et donc l'égalité n'est pas vérifiée ?

Shadows Asgard · September 2019

Ah d'accord Poirot, merci :-)

Poirot · September 2019

Tu prends le problème dans le mauvais sens. On ne te demande pas de déduire quelque chose du fait que $f : x \mapsto (ax+b)e^{2x}+(cx+d)e^{-2x}$ est égale à $x \mapsto 0$. On te demande de prouver que la fonction $x \mapsto 0$ peut s'écrire sous la forme $x \mapsto (ax+b)e^{2x}+(cx+d)e^{-2x}$, ce qui est beaucoup plus simple pusique tu n'as qu'à trouver des valeurs de $a,b,c$ et $d$ qui fonctionnent. Rien ne te dit qu'il existe un unique quadruplet de valeurs qui fonctionne (en fait si, mais ce sera l'objet de la seconde question).

Et à nouveau, à aucun moment tu n'as besoin d'évaluer une fonction en $0$. Il faudrait que tu revois ce qu'est une fonction décrite sous la forme $x \mapsto g(x)$, c'est la donnée de chacune des valeurs $g(x)$, associée à tous les $x$ (ici $x$ parcourt l'ensemble $\mathbb R$).

gerard0 · September 2019

Il y a une notation pour l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, c'est $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$. Qui n'a rien à voir avec $\mathbb R^2$, qui est l'ensemble des couples de réels.
Il serait peut-être temps d'apprendre à lire les notations mathématiques, à comprendre de quoi on parle dans tes cours et tes exercices. " c'est la première fois que je vois ce type d'espace vectoriel" n'est pas une bonne raison pour ne pas chercher à comprendre seul. Il y a des tas de choses que tu as fait seul la première fois, sans qu'on te montre; et en maths, ça va devenir la règle : A chaque exercice, des nouveautés.

Ici, les vecteurs sont des fonctions, c'est f et g, par exemple, et tu vas t'intéresser à f+g, et à k.f.

Bonne réflexion et bon travail personnel !

Shadows Asgard · September 2019

D'accord merci.
Et j'ai une question concernant la question 2) pour montrer que la famille (f1,f2,f3,f4) est libre.
Car je suis arrivé à l'écriture : (ax+b)e^(2x) + (cx+d)e^(-2x) = 0
Ensuite j'ai pris : x=0
donc j'ai obtenu : b+d=0
Seulement j'ai 4 inconnus (a,b,c,d), et donc pour trouver leur valeur, je dois obtenir encore 3 équations de ce type pour avoir au total 4 équations.
Donc pour trouver mes 3 autres équations je me dis qu'il faut que je recoure aux limites, seulement je ne sais pas comment m'y prendre à partir de
(ax+b)e^(2x) + (cx+d)e^(-2x) = 0

Pouvez-vous m'aider svp ?

Calli · September 2019

Regarde le comportement asymptotique en l'infini.

Crapul · September 2019

@Calli : il me semble que c'est déjà son idée : "je me dis qu'il faut que je recoure aux limites"
@SA : essaie de multiplier ton égalité par $e^{2x}$ avant de passer aux limites, tu y verras peut-être plus clair.