Montrer que pour tout entier naturel non nul

Shadows Asgard
Shadows Asgard
dans Algèbre
Bonjour,
j'ai une question concernant la question 3 de l'exercice 1 car je ne vois pas très bien comment faire la question. J'ai pensé utiliser la récurrence mais je bloque à l'hérédité car je ne peux pas poser par exemple comme je le fais sur mon brouillon an+1=anA et bn+1=bnA car an+1 et bn+1 ne sont pas des matrices ?
Merci.90108
90130

Réponses

  • jean-éric
    jean-éric
    Bonsoir
    En fait il faut montrer qu'il existe deux nombres réels $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ tels que $A^{n+1}=a_{n+1}A+b_{n+1}A^2$ en utilisant l'hypothèse de récurrence, ce que vous avez écrit est incomplet.

    Disons que $A^{n+1}=a_nA^2+b_n A^3$ est la bonne piste, on utilise alors la question 1. $A^3=A^2+2.A$ et alors $A^{n+1}=(premier~terme)A +(second~terme)A^2$.

    À vous de compléter le premier et second terme en fonction de $a_n$ et $b_n$.
    Quant à l'écriture $a_n A$ est-ce une matrice ou un nombre réel ???
    Jean-éric
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Merci pour votre réponse, j'ai trouvé !
    Quant à anA c'est une matrice à mon avis.
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Et j'ai une question concernant la question 5)b), car je ne comprends pas comment trouver bn en fonction de n. Car arrivé à ce que j'ai fait sur le brouillon je ne sais pas quoi faire. j'avais pensé à dire que bn est une suite arithmético-géométrique mais ce n'est pas vrai. Que faire ?

    Merci d'avance pour votre réponse90120
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Bonjour, j'ai une question concernant la question 4) de la Seconde Partie, car je ne comprends pas comment trouver faire la question, car à la question précédente j'ai trouvé: lamda1= (1-5^(1/2))/2 ; lambda2= 0 ; lambda3= (1+5^(1/2))/2
    J'ai donc essayé de faire la question 4) de la Seconde Partie avec lambda1 et je trouve que Blambda1= Vect ((0;0;0)). Mais je pense que ce n'est pas ça car après ils demandent une base de cet espace et la famille ((0;0;0)) ne peut pas être une base car cette famille n'est pas libre.
    Donc pouvez-vous me dire où ai-je commis une erreur svp ?
    Merci d'avance pour votre réponse90132
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quand tu trouves $b_{n+1}-b_n=a_n$, tu sommes jusqu’à $N$ et à gauche tu as une somme télescopique qui donne les $b_N$... Cette méthode de calcul par somme télescopique est très courante.
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Bonjour d'accord merci j'ai trouvé bn, mais j'ai une question concernant la question 4) de la Seconde Partie, car je ne comprends pas comment trouver faire la question, car à la question précédente j'ai trouvé: lamda1= (1-5^(1/2))/2 ; lambda2= 0 ; lambda3= (1+5^(1/2))/2
    J'ai donc essayé de faire la question 4) de la Seconde Partie avec lambda1 et je trouve que Blambda1= Vect ((0;0;0)). Mais je pense que ce n'est pas ça car après ils demandent une base de cet espace et la famille ((0;0;0)) ne peut pas être une base car cette famille n'est pas libre.
    Donc pouvez-vous me dire où ai-je commis une erreur svp ?
    Merci d'avance pour votre réponse
  • Crapul
    Crapul
    Refais le calcul de la 3).
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