Matrice d'un endomorphisme

Savoir si $g$ est un endomorphisme du $R$ espace vectoriel $M_{3}(R)$ revient à tester sa linéarité. $$
g(M+\lambda N) = g(M) + \lambda g(N)
$$ Ceci vient de la linéarité du produit matriciel.

@ darbouka

Matrices et endomorphismes sont deux concepts différents.

Étant donné deux espaces vectoriels de dimensions finies n et m (V, +) et (W, +) sur un corps K, un endomorphisme f n'est rien d'autre qu'un homomorphisme du groupe abélien (V,+) dans le groupe abélien (W,+). C'est-à-dire que f est un élément de Hom (V, W). La nature des éléments de V et W n'a rien à faire dans cette définition. V = W ou V peut être différent de W. V peut être l'espace vectoriel K^n, l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée sur K, l'espace vectoriel des matrices de dimension n x m etc...

Une matrice est un tableau (fini) d'éléments de K. Les ensembles de matrices de dimension n x m peuvent être dotés de structures d'espace vectoriel, de K-algèbre, d'anneau etc...

Alors quel est le lien entre la notion d'endomorphisme et celle de matrice ? Eh bien il se trouve que l'ensemble Hom (V, W) peut être mis en bijection avec l'ensemble des matrices de dimension n x m. Mais cet isomorphisme n'est pas canonique, autrement dit il dépend des bases que l'on choisit dans V et W. Une fois choisies ces bases, à un endomorphisme f correspond une unique matrice, et vice versa.

Ton application g est une application linéaire entre deux espaces vectoriels (ce sont des R-algèbres de matrices). On peut donc associer à g une matrice qui la représente dans un couple de bases données (ces bases étant évidement choisies dans les deux espaces vectoriels de matrices). Que la matrice A soit le matrice représentative de l'endomorphisme f ne joue aucun rôle dans la nature de g.