Endomorphisme surjectif ?

Bonsoir
Sauf erreur de ma part : $ \forall n \geq 0 $ : $$ v_n = u_{n+1} - u_n \ \ \Longleftrightarrow \ \ u_n = \Big( \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } v_k \Big) + u_0 .

$$ Non ?

$ \forall n \geq 0 $ :
$$ v_n = u_{n+1} - u_n \ \ \Longrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } v_n = \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } ( u_{n+1} - u_n ) \ \ \Longrightarrow \ \ u_n - u_0 = \Big( \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } v_k \Big) \ \ \Longrightarrow \ \ u_n = \Big( \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } v_k \Big) + u_0 $$

Je te laisse trouver la réciproque. ;-)

Montrer que $ \Delta \ : \ \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } \to \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } $ est surjective, revient à montrer que :
Pour tout $ v = ( v_{ n } )_{ n \geq 0 } \in \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } $, il existe $ u = ( u_{ n } )_{ n \geq 0 } \in \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } $ tel que $ \Delta ( u ) = v $
C'est à dire, cela revient à montrer que :
Pour tout $ v = ( v_{ n } )_{ n \geq 0 } \in \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } $, il existe $ u = ( u_{ n } )_{ n \geq 0 } \in \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } $ tel que $ u_{n+1} - u_n = v_n $ pour tout, $ n \geq 0 $.
Soit alors, $ n \geq 0 $.
Soit $ v = ( v_{ n } )_{ n \geq 0 } \in \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } $ :
Trouve alors un : $ u = ( u_{ n } )_{ n \geq 0 } \in \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } $ tel que : $ u_{n+1} - u_n = v_n $ pour tout $ n \geq 0 $.
La réponse est donnée dans mes messages précédents.