Dimension finie ou pas ?

Tu peux aussi te demander :
"$\ker(u)=\ker(u^2)$ et $\mathrm{im}(u)=\mathrm{im}(u^2)$" est-il équivalent à "$\ker(u)$ et $\mathrm{im}(u)$ supplémentaires" ? En dimension infinie aussi ?

Excellente question (normal, puisque je l'ai posée :-D). Je te laisse y réfléchir.

Je ne comprends pas ce qu'est censé prouver ce que tu écris, donc difficile de te dire si c'est correct. Je ne vois pas le rapport avec ma question.

PS. Si tu veux démontrer l'équivalence, cherche un raisonnement qui ne fait absolument pas appel à la dimension.
Allez, je fais un bout d'une implication.
Je suppose que $\ker(u)=\ker(u^2)$. Montrons que $\ker(u)\cap\mathrm{im}(u)=\{0\}$. Soit $x\in \ker(u)\cap\mathrm{im}(u)$. Il existe $y\in E$ tel que $u(y)=x$ et $u(x)=0$. Donc $u^2(y)=0$ et puisque $\ker(u)=\ker(u^2)$, $x=u(y)=0$. Aucune dimension n'a été violentée dans cette démonstration.
Je te laisse continuer. Pour commencer, tu pourras démontrer que si $\mathrm{im}(u)=\mathrm{im}(u^2)$, alors $E=\mathrm{im}(u)+\ker(u)$. Avec ce que j'ai démontré, ça fait une des implications de l'équivalence. Tu pourras ensuite démontrer l'implication réciproque.

Tu répètes la même chose sans expliquer plus. Je t'ai déjà demandé ce que tu voulais expliquer avec ton $u$. Penses-tu qu'il satisfasse $\mathrm{im}(u)=\mathrm{im}(u^2)$, par exemple ?