Ensembles dénombrables

Jota
Jota
dans Algèbre
Salut,
J'ai un problème pour prouver que les ensembles $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ et $\mathbb{Q}$ sont dénombrables.

Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Pour $\mathbb N \times \mathbb N$, tu peux étudier l'application $(n,m) \mapsto 2^n(2m+1)$.

    Une fois que tu sais que $\mathbb N \times \mathbb N$ est dénombrable, tu peux chercher une surjection évidente de $\mathbb Z \times (\mathbb N^*)$ dans $\mathbb Q$.
  • Jota
    Jota
    Salut Poirot, je bloque un peu pour l'injectivité.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Bonjour,
    C’est pour l’injectivité de l’application de Poirot que tu bloques? Un indice, $2m+1$ est impair et la factorisation d’un entier en produit de facteurs premiers est unique (à l’ordre près des facteurs).
  • rakam
    rakam
    Moi je bloque pour la surjectivité : l'entier 0 n' a pas d'antécédent.
    Mais il est vrai que l'injectivité suffit !
  • Poirot
    Poirot
    Je n'ai pas précisé l'ensemble d'arrivée, mais c'est évidemment $\mathbb N^*$, qui est trivialement en bijection avec $\mathbb N$.
  • rakam
    rakam
    J'avais bien compris, ce n'était qu'une taquinerie !
    En général quand on prend ta fonction on ajoute $-1$ ce qui donne une bijection avec $\N$.
    Quand on veut se contenter d'une injection il est plus habituel de prendre $(a,b)\mapsto 2^a3^b$.
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