Bonsoir, j’aurais aimé avoir votre avis sur un problème, je ne suis pas sûr de ma réponse à la première question mais les autres en dépendent... J’ai trouvé que la partie imaginaire de p devait être égale à la partie imaginaire de q, qu’en pensez-vous?
Merci.
Réponses
En l'occurrence, tu veux parler de $\varphi$ et trouver $p$ et $q$ à partir de $\varphi$. Or $p$ et $q$ parlent de coordonnées. « Application linéaire » et « coordonnées », ça doit faire tilt : « matrice » ! Quelle base ? Ben, la base canonique de $\R^2$ pardi !
Écrivons donc la matrice de $\varphi$ dans la base canonique de $\R^2$ : $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$.
Cette matrice ne dépend que de $\varphi$ – elle est uniquement déterminée. C'est plutôt prometteur parce qu'on a une donnée formée de quatre réels et on cherche une réponse formée de deux complexes, c'est-à-dire quatre réels... Comme on est en algèbre linéaire, cela va conduire à un système de quatre équations à quatre inconnues $\mathrm{Re}(p)$, $\mathrm{Im}(p)$, $\mathrm{Re}(q)$, $\mathrm{Im}(q)$, et quatre paramètres $a$, $b$, $c$, $d$.
Calculons d'une part $AX=\cdots$.
Calculons d'autre part les coordonnées de $pz+q\bar{z}$ considéré comme un vecteur de $\R^2$ : on part de $pz+q\bar{z}=\mathrm{Re}(p)x-\mathrm{Im}(p)y+\cdots$, la première coordonnée est la partie réelle de ce truc, la deuxième sa partie imaginaire.
Comme l'égalité $AX=pz+q\bar z$ doit être vraie pour tout $x$ et tout $y$, on a deux expressions pour le même endomorphisme ; autrement dit, deux matrices ; on peut identifier (pourquoi ?).