Questions autour des actions de groupes
Bonjour,
je commence un chapitre sur les actions de groupes et je suis un peu perdu !
Je dois démontrer le résultat suivant.
(1) L'action de $G$ sur lui-même par translation à gauche est transitive.
(2) Le stabilisateur de $x\in E$ est isomorphe à $\mathfrak S(E\setminus\{x\})$
(3) Le groupe $\mathfrak S(E)$ agit par conjugaison de façon transitive sur l'ensemble des $r$-cycles.
Mes recherches :
(1) $G$ agit sur lui-même par translation à gauche au moyen de l'application : $$
f:{\begin{array}[t]{lcl}G\times G&\longrightarrow &G\\(g,x)&\longmapsto &g.x=gx\end{array}}
$$ Celle-ci satisfait la définition d'action de groupe en vérifiant les égalités :
$g.(g'.x)=(gg').x$ et $1_G.x=x$.
Montrons que cette action est bien transitive.
Soient $(x,y)\in E^2$.
Fixons $g=yx^{-1}\in G$ (puisque c'est un groupe).
Alors $g.x=y$. D'où le résultat.(2) Je connais la définition du stabilisateur de $x\in E$ : c'est l'ensemble $G_x=\{g\in G\mid g.x=x\}$.
Mais je n'arrive pas à trouver d'isomorphisme entre $G_x$ et $\mathfrak S(E\setminus\{x\})$(3) Je n'y arrive pas.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !
je commence un chapitre sur les actions de groupes et je suis un peu perdu !
Je dois démontrer le résultat suivant.
(1) L'action de $G$ sur lui-même par translation à gauche est transitive.
(2) Le stabilisateur de $x\in E$ est isomorphe à $\mathfrak S(E\setminus\{x\})$
(3) Le groupe $\mathfrak S(E)$ agit par conjugaison de façon transitive sur l'ensemble des $r$-cycles.
Mes recherches :
(1) $G$ agit sur lui-même par translation à gauche au moyen de l'application : $$
f:{\begin{array}[t]{lcl}G\times G&\longrightarrow &G\\(g,x)&\longmapsto &g.x=gx\end{array}}
$$ Celle-ci satisfait la définition d'action de groupe en vérifiant les égalités :
$g.(g'.x)=(gg').x$ et $1_G.x=x$.
Montrons que cette action est bien transitive.
Soient $(x,y)\in E^2$.
Fixons $g=yx^{-1}\in G$ (puisque c'est un groupe).
Alors $g.x=y$. D'où le résultat.(2) Je connais la définition du stabilisateur de $x\in E$ : c'est l'ensemble $G_x=\{g\in G\mid g.x=x\}$.
Mais je n'arrive pas à trouver d'isomorphisme entre $G_x$ et $\mathfrak S(E\setminus\{x\})$(3) Je n'y arrive pas.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !
Réponses
-
Bonjour BMaths
Dans l'énoncé du (2), qui est $E$ ?
(2) est-il une autre question indépendante de (1) ? Quel groupe agit sur $E$ ?
Alain -
Aparté.
Du point de vue didactique, ce n'est pas une bonne idée de commencer l'étude des actions de groupe par celles où le groupe agit sur lui-même. Cela entraîne une confusion entre les objets "agissants" et ceux qui "subissent" l'action.
La géométrie des transformations fournit autant d'exemples qu'on voudra, la combinatoire aussi. Le groupe diédral par exemple, agissant sur des colliers de perles colorées m'a laissé un excellent souvenir. -
Aparté (bis).
Le groupe diédral d'ordre $8$, $D_8$ contient les $8$ symétries du carré dans le plan: $4$ rotations (en comptant l'identité) et $4$ réflexions.
Il agit sur un ensemble dont l'unique élément est un carré !
Mais si ce carré est centré sur l'origine d'un repère orthonormé et que l'on numérote ses sommets par $A,B,C,D$, alors $D_8$ agit sur l'ensemble $X$ des $16$ paires ordonnées formées à partir de $\{A,B,C,D\}$.
Le groupe $D_8$ lui-même peut se ramener à un sous-ensemble des permutations de $\{A,B,C,D\}$. Ainsi l'identité sera $ABCD$, la réflexion par rapport à la diagonale $BD$ sera $CBAD$ etc...
Et voilà comment, en algébrisant un tout petit peu, on perd complètement le lien avec la plus élémentaire géométrie. Il faut pourtant revenir à la géométrie si l'on veut expliciter les $3$ orbites de $G$ sur $X$: on fixe une paire quelconque dans $X$ et on la soumet à toutes les transformations de $G$.
On trouve:$\{AA,BB,CC,DD\}$, $\{AB,BA,BC,CB,CD,DC,DA,AD\}$, et $\{AC,CA,BD,DB\}$.
Le sens de la première orbite est que chacun des sommets $A, B, C, D$ n'a que $4$ images distinctes (à savoir $\{A,B,C,D\}$) par les $8$ actions des éléments de $D_8$.
... -
Bonjour,
merci pour vos réponses. J'y reviens sur les actions de groupe. J'ai, encore une fois, manqué de précision.
$E$ est un ensemble non vide pour les 3 questions.
L'action agissant sur $E$ est l'action naturelle de $\mathfrak S(E)$ sur $E$ défini par : $$
\begin{array}{rcl}
\mathfrak S(E)\times E&\longrightarrow &E\\
(\sigma,x)&\longmapsto &\sigma\cdot x=\sigma(x)
\end{array}
$$ J'arrive à démontrer que cette action est transitive puisqu'avec la permutation définie par :
$t=(x,y)\text{ si }x\neq y$
$t=Id_E$ sinon
on a bien l'existence d'un élément $t\in \mathfrak S(E)$ de sorte que $y=t(x)$ pour tout $x,y \in E$.
En revanche, je ne trouve toujours pas l'isomorphisme de la question 2. -
Je ne le vois pas !
-
Euh, pas vraiment !
Je dirais qu'il faut mélanger 52 cartes sauf la première carte.
Mais ça ne m'aide pas vraiment ! -
Cher BMaths,
Toute permutation $\sigma \in \mathfrak S(E)$ qui stabilise un élément $x \in E$ induit une permutation de $\mathfrak S(E\setminus\{x\})$ par restriction de $\sigma$ à $E\setminus\{x\}$. Ceci se justifie par bijectivité de $\sigma$ et te permettra de définir l'isomorphisme désiré.
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Bonjour!
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