Relation entre les racines n-ièmes

Gon
Gon
dans Algèbre
Bonsoir à tous, j'aimerais avoir votre avis sur une question qui m'est venue dans la tête.
Voilà après avoir résolu un exercice sur les nombres complexes afin de trouver des valeurs des cos et sin d'un angle $\alpha$(quelconque en radian).
Je ne crois pas trop que la manière de disposer les racines n-ièmes entres eux comme dans le cas de mon énoncé est arbitraire.
Je me demande s'il n'existe pas une généralisation qui permet de disposer les racines entres elles afin de résoudre un même problème donné dans un autre cas.
En effet je constate que $w^{4}$ est le conjugué de $w$ et que $w^{3}$ est le conjugué de $w^{2}$.

Merci d'avance pour vos réponses.90474

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Effectivement, ce sont des propriétés qu'on peut généraliser, et qui sont souvent objet de cours dans le supérieur. ton $\omega$ est une "racine cinquième de l'unité".

    Cordialement.
  • Gon
    Gon
    ok,puis-je avoir un article qui en parle svp? Je veux bien voir comment on peut généraliser cet concept.
    car dans un deuxième exercice il y'a aussi eu cette dispositions des racines 9-ièmes de l'unité.

    Merci d'avance.
  • gerard0
    gerard0
    Cherche un cours sur les racines n-ièmes, ce que tu fais c'est quand même des petits exercices sur les complexes. Tu peux aussi regarder les formules des expressions symétriques des racines d'un polynôme.
    Si tu es en début de L1 ou prépa, tu verras ça en cours plus tard. Et tout ça te paraîtra assez élémentaire.

    Cordialement.
  • Gon
    Gon
    Oui je révise juste les nombres complexes, @gerard0 peut-être que j'ai mal posé ma question en réalité ce que je cherchais, c'était une méthode me permettant de calculer les $\cos(\frac{k\pi}{n})$ où $k,p$ sont premiers entre eux.
  • gerard0
    gerard0
    Tout dépend de ce que tu appelles "calculer". Car la valeur de $\cos(\frac{k\pi}{n})$ c'est ... $\cos(\frac{k\pi}{n})$.
    Pour ma part, je ne connais pas de formule générale pour une expression algébrique (4 opérations, puisances et racines n-ièmes de réels); j'en ai vu pour $k=1$ et $n=2^m$, et on peut en déduire d'autres pour $k$ quelconque et $n=2^m$.

    Cordialement.
  • Gon
    Gon
    Je viens de voir un article qui détermine une expression avec les radicaux,elle utilise le triangle de [large]P[/large]ascal.

    [Blaise Pascal (1623-1662) prend toujours une majuscule. AD]
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Il suffit de demander à Pablo, il doit avoir les expressions de toutes les racines de l'unité comme combinaisons de radicaux :-D

    Cordialement,

    Rescassol
  • gerard0
    gerard0
    Quel article ???
  • gerard0
    gerard0
    Attien m'a communiqué en MP la page suivant : page. Son titre est un peu fallacieux (il semble répondre à la question de Attien), mais il y a des choses intéressantes.
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