Réduction d'un endomorphisme

rira · September 2019

Bonjour,
Soit u un endomorphisme de E de dimension finie,
on a E=F₁+...+F_p. avec les (F_k) sont des sous-espaces vectoriels de E et je désigne par + le symbole de la somme directe.

Observer que la matrice de u dans une base adaptée à la somme directe ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls.
Je ne sais pas comment prouver que les élément de la diagonale sont nuls.
Merci d'avance

Maxtimax · September 2019

C'est faux, il manque des hypothèses. Il en manque même beaucoup (cela implique en particulier que $u$ est de trace nulle...)

rira · September 2019

Maxtimax
il y a aussi u est nilpotent d'indice p de IN*

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Maxtimax · September 2019

Même là le résultat est faux. Peut-être que tu veux "il existe une décomposition $F_1,...,F_p$ telle que.." ?

rira · September 2019

J'ai la correction de l'exercice que je n'ai pas compris, la voilà :la matrice de u sera triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls. car l’endomorphisme u envoie les vecteurs de l’espace F_k dans

Ker(u_k-1)=F1+...+F_k-1

Maxtimax · September 2019

Prends une base adaptée à la décomposition. Dans cette base, disons que $e$ est un vecteur de $F_k$. Alors en particulier $e\in \ker (u^k)$ (puisqu'on a $F_1\oplus ... \oplus F_k = \ker(u^k)$ ). Donc $u(e) \in \ker (u^{k-1})$. En particulier, $u(e) \in F_1\oplus ... \oplus F_{k-1}$ : il se décompose donc sur des éléments de la base qui sont strictement avant lui dans la base (si tu ordonnes la base selon les $F_i$) : en particulier la colonne qui correspond à $e$ dans la matrice est située strictement en haut de la diagonale (enfin ses termes non nuls), donc $0$ sur la diagonale.
De plus comme toutes les colonnes sont contenues (leurs termes non nuls) strictement en haut de la diagonale, la matrice est triangulaire supérieure.

Réduction d'un endomorphisme

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