Montrer une injection

Pour l'injectivité dans la 2.2: Commence par prouver ça: $\forall a\in \mathbb{N}$ $\exists ! m\in \mathbb{N} \ : \ \frac{1}{2}m(m+1)\leq a<\frac{1}{2}(m+1)(m+2)$.
Pour ce qui est de l'exercice 3, la première question est facile, il y a une indication pour la seconde, une indication comme "le produit des carrés, c'est le carré du produit" devrait suffire pour trouver une réponse à la 3.3 . Avant de faire la dernière question tu dois montrer par l'absurde qu'une partie majorée de $\mathbb{N}$ possède un plus grand élément (sachant qu'il est admis que toute partie de $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément), ça te permettra de faire des "récurrences inversées".

@skikis : tu parles de quelle indication ?

L'unicité de quoi ? Tu pourrais être plus explicite.

Ok... À $m$ fixé, quel est l'ensemble des valeurs que peut prendre $\frac{1}{2}m(1+m)+k$ avec $0\leq k\leq m$?

C'est pas faux:-D, mais tu noteras que $\frac{1}{2}m(m+3)=\frac{1}{2}(m+1)(m+2) -1$.

Si on te dit $m=n+k$ et $k\leq m$?

Je vais être plus clair (après c'est fini). Suite à ce qui a été détaillé, peux-tu montrer que pour tout $a$ de $\mathbb{N}$, il existe un unique couple $(m,k)$ avec $m$ et $k$ des entiers naturels tels $k\leq m$ et que $\frac{1}{2}m(m+1)+k=a$.
Vois-tu le rapport?

Bonjour,
Pour l'exercice 2 :

Il faut montrer que f est bijective donc injective et surjective.
1-Montrons que f est injective c'est à dire que tout élément de son ensemble d'arrivée N* a au plus un antécédent
par f dans l'ensemble de départ NxN.
On va supposer que 2 éléments de NxN ont la même image par f.
Soient (p, q) et (p',q') des couples d’entiers naturels tels que f(p, q) =f(p', q')
On a donc : 2^p(2q+ 1) = 2^p'(2q+ 1) donc 2^p-p'(2q+ 1) = 2q'+ 1
Si p > p', 2^p-p'(2q+ 1) est pair, donc différent de 2q'+ 1 donc p= p '
On obtient par un raisonnement symétrique p'= p, et donc p=p', et donc q=q', donc
(n, p) = (n', p') donc f est injective.

2- Montrons que f est surjective donc que tout élément de N* a au moins un antécédent dans NxN.
Soit n appartient à N*, Soit p le plus grand entier tel que n/2^p soit entier.
n/2^p est impair donc il existe donc un entier naturel p tel que n/2^p= 2q+ 1
On a donc f(p, q) =n, donc n a au moins un antécédent par f, et f est surjective.
Donc f est bijective.

Bonjour,

Pour l'exercice 1 , on peut remarquer que Card(E) est différent de Card(P(E), donc on est sur que f n'est pas une bijection. Si on démontre que f est injective c'est que que tout élément de E à une image dans P(E) par f, alors comme f n'est pas bijective cela veut dire qu'elle n'est pas surjective. En effet f est une bijection si elle injective et surjective.

Bonjour,

Merci Poirot pour des indications et explications, on peut se tromper merci de me l'avoir dit j'ai raisonné de travers.

(noter qu'il y a une coquille dans l'indication)
et oui c'est ça, essaie par l'absurde.
Par contre, évite de demander si tu es sur la bonne piste à chaque pas, tu ne vas pas aller loin.