Groupe de Lie $ SL_2 ( \mathbb{K} ) $.

Je sais déterminer les représentations de $ SL_2 ( \mathbb{K} ) $ pour $ \mathbb{K} = \mathbb{R} $ ou $ \mathbb{K} = \mathbb{C} $, mais pas pour $ \mathbb{K} $ arbitraire de caractéristique $ 0 $.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Oui. Voila. Merci.

Lupulus a écrit:

C'est la même chose que pour $ k = \mathbb{C} $.

Sais-tu pourquoi, c'est la même chose que pour $ k = \mathbb{C} $, et pas la même chose que pour $ k = \mathbb{R} $ par exemple ?
Merci d'avance.

- Si l'on croit au petit cours suivant : https://webusers.imj-prg.fr/~adrien.deloro/talks/2015-10-09, Istanbul.pdf , page : $ 6 $ :
Le groupe algébrique $ SL_2 ( \mathbb{K} ) $ pour $ \mathbb{K} $ arbitraire de caractéristique $ 0 $ a pour représentations :
-- Les représentations engendrées par les sous représentations irréductibles $ S_d ( \mathbb{K} ) = \mathbb{K} [X^d , \dots , X^{d-1} Y , \dots , XY^{d-1} , Y^d ] $ définies par : $ \rho : SL_2 ( \mathbb{K} ) \to GL ( S_d ( \mathbb{K} )) $ telles que : $ \rho \Big( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Big) ( P(X,Y) ) = P( aX + cY , bX + d Y ) $.

- Si l'on croit maintenant au cours suivant : https://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_centrale.pdf , à partir de la page : $ 100 $ :
Le groupe de Lie $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $ a pour représentations :
-- Les représentations engendrées par les sous représentations irréductibles $ S_d ( \mathbb{C} ) = \mathbb{C} [z_1^{2d} , \dots , z_1^{2d-1} z_2 , \dots , z_1 z_2^{2d-1} , z_{2}^{2d} ] $ définies par : $ \rho : SL_2 ( \mathbb{C} ) \to GL ( S_d ( \mathbb{C} ) $ telles que : $ \rho \Big( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Big) ( P(X,Y) ) = P \Big( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} \Big) = P( dX - bY , -c X + a Y ) $.
Ces représentations ne sont en effet, pas les seules représentations irréductibles de $SL_2 ( \mathbb{C} ) $ que nous désignerons désormais par les représentations de type $ (d,0) $.
-- Il y'a aussi les représentations irréductibles de type $ ( 0,d) $ désignée par : $ (S_d ( \mathbb{C} ) , \overline{\rho}) $ ( représentation complexe conjuguée ).
-- Le reste des représentations sont celles de type $ ( d_1 , d_2 ) $ désignés par : $ ( S_{d_{1} } ( \mathbb{C} ) \otimes S_{d_{2}} ( \mathbb{C} ) , \rho_{d_{1}} \otimes \overline{\rho_{d_{2}}} ) $.
Finalement, toute représentation de $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $ est somme directe des sous représentations irréductibles de type $ (d_1, d_2 ) $.

Les représentations irréductibles de type $ (d,0) $ de $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $, contrairement au groupe algébrique : $ SL_2 ( \mathbb{K} ) $ avec $ \mathbb{K} $ arbitraire différent de $ \mathbb{C} $, ne constituent pas une liste complète des représentations irréductibles de $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $. elles constituent seulement une liste complète de représentations irréductibles de son sous groupe de Lie $ SU(2) \subset SL_2 ( \mathbb{C} ) $.

Donc, le cas $ \mathbb{K} = \mathbb{C} $ est celui le plus compliqué qui demande d'introduire une sorte de complexification par $ \mathbb{C} $. Comme pour les complexifications, qui font l'objet de théorie des structures de Hodge? Voir ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_structure

Non, je voulais dire, que pour Deloro, les représentations qu'il répertorie pour $ SL_2 ( \mathbb{K} ) $ ne représentent ( parallèlement à $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $ ) que les représentations ''holomorphes'' de $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $ au sens de l'analyse complexe à multi-variables. Or, il n'y'a pas que les représentations ''holomorphes'' $ (d,0) $ qui déterminent $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $. Il y'a aussi les représentations anti-holomorphes $ (0,d) $, et le produit tensoriel de représentations holomorphes et représentations anti-holomorphes $ (d_1 , d_2 ) $, en toute généralité si tu veux.

reuns a écrit:

Est-ce que David dit qu'en caractéristique 0 ce sont toutes les représentations irréductibles algébriques de dimension finie ?

Oui.

reuns a écrit:

Pour les représentations non-algébriques, seulement continues, $SL_2(\C)$ est un sous-groupe topologique de $SL_4(\R)$ dont les représentations irréductibles de dimension finie sont sur les $\R[x_1,\ldots,x_4]_n$. Est-ce que ces représentations sont les mêmes que sur $\C[x_1,x_2]_n$ ?

Si elles sont seulement continues, alors, elles sont holomorphes, et dans ce cas oui, les représentations irréductibles de dimension finie sont sur les $\R[x_1,\ldots,x_4]_n$. Ces représentations sont les mêmes que sur $\C[x_1,x_2]_n$. Voir le cours de Paulin comme indiqué plus haut.

Non, $ SL_2 ( \mathbb{C} ) $ agit sur $ \mathbb{C} [z_1^d , z_1^{d-1} z_2 , \dots , z_1 z_{2}^{d-1} , z_{2}^{d}] $ par une représentation complexe, et si elle continue, alors elle est $ \mathbb{C} $ - analytique. ( Et non pas réelle-analytique ). Non ?

Je ne saisis pas le but de tes questions, ni où tu voudrais en venir.