Somme directe sous-espaces caractéristiques

Bonjour à tous,
je suis en train de regarder la démonstration comme quoi, si f est un endomorphisme de E Kev, alors
E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques.
Somme directe vient du lemme des noyaux.
Mais je ne comprends pas l'autre partie, c'est-à-dire pourquoi le noyau du polynôme caractéristique F de f est égal à E tout entier.
La justification donnée est Cayley-Hamilton.
On a P(f)=0 et ...?