Minimum global
Bonjour,
j'ai réussi à démontrer que $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$ admet un minimum local qui vaut $-8$ atteint en $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ par exemple. Je cherche maintenant à démontrer qu'il est global sur $\mathbb{R}^2$, et je pense que c'est plus de l'algèbre que du calcul différentiel qui va m'y aider donc je poste ici.
Des idées ? J'arrive déjà à réduire à $f(x,y) \geq 2x²y²-2(x-y)^2$ mais après...
Merci.
j'ai réussi à démontrer que $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$ admet un minimum local qui vaut $-8$ atteint en $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ par exemple. Je cherche maintenant à démontrer qu'il est global sur $\mathbb{R}^2$, et je pense que c'est plus de l'algèbre que du calcul différentiel qui va m'y aider donc je poste ici.
Des idées ? J'arrive déjà à réduire à $f(x,y) \geq 2x²y²-2(x-y)^2$ mais après...
Merci.
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Réponses
$x^4+4=(x^2-2)^2+....$
avec égalité ssi $x=y=\pm\sqrt{2}$... Moui, j'aurais pu le voir un autre jour 8-)
Merci.
Pour prouver que le minimum local est global, effectivement on peut recourir à un calcul algébrique, mais que je considère difficile à trouver.
Si l'on ne trouve pas il y a une méthode générale.
La fonction $f$ vérifie : $\underset{(x,y)\rightarrow \infty }{\lim }f(x,y)=+\infty $. Ce qui signifie que pour tout réel $A\geq 0$ il existe un compact $K\subset \mathbb{R}^{2}$ tel que $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\backslash K$ implique $f(x,y)>A$. Une telle fonction $f$, si elle est continue sur $\mathbb{R}^{2}$, admet un minimum global sur $\mathbb{R}^{2}$.
Démonstration.
Soit $(x_{0},y_{0})\in \mathbb{R}^{2}$. Il existe un compact $K\subset \mathbb{R}^{2}$ tel que $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\backslash K$ implique $f(x,y)>\left\vert f(x_{0},y_{0})\right\vert $.
On a nécessairement : $(x_{0},y_{0})\in K$ (sans quoi $f(x_{0},y_{0})>\left\vert f(x_{0},y_{0})\right\vert $, impossible).
La fonction continue $f$ admet un minimum sur le compact $K$, ce qui signifie qu'il existe $(x_{1},y_{1})\in K$ tel que pour tout $(x,y)\in K $ on a : $f(x,y) \ge f(x_{1},y_{1})$. En particulier : $f(x_{0},y_{0})\ge f(x_{1},y_{1})$.
Si $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\backslash K$, alors : $f(x,y)>\left\vert f(x_{0},y_{0})\right\vert \ge f(x_{0},y_{0})\geq f(x_{1},y_{1})$.
Il est ainsi prouvé que $f(x,y)\geq f(x_{1},y_{1})$ pour tout $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$. CQFD.
Un minimum global sur l'ouvert $ \mathbb{R}^{2}$ est forcément un point critique, et c'est fini.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
01/10/2019
Merci
On peut préciser que $(0,0)$ n'est pas un extrémum local puisque $f(x,x)=2x^4>0$ si $x \neq 0$, et $f(x,0)=x^2(x^2-2)<0$ si $0<|x|< \sqrt {2}$.
Bonne journée.
Fr. Ch.