Existence d'un p-Sylow

Bonjour
(Je préviens celui qui décide de m'aider aura plein de choses à me reprendre ! Désolé d'avance ).
Je m'intéresse à la preuve du lemme suivant (Perrin p.19).

Lemme:
Soit $G$ un groupe avec $|G| = p^{\alpha}m$, avec $p \nmid m$ et soit $H$ un sous-groupe de $G$.
Soit $S$ un $p$-Sylow de $G$. Alors il existe $a \in G$ tel que $aSa^{-1} \cap H$ soit un $p$-Sylow de $H$.

Preuve:
Le groupe $G$ opère sur $G / S$ par translation à gauche et le stabilisateur de $aS$ est $aSa^{-1}$. (1)
Mais $H$ opère lui aussi su $G/S$ par restriction, avec comme stabilisateur de $aS$, $aSa^{-1} \cap H$. (2)
Il reste à voir que l'un de ces groupes est un Sylow de $H$. Ce sont déjà des $p$-groupes. (3)
Il suffit donc de montrer que, pour un $a \in G$, $|H/(aSa^{-1} \cap H|$ soit premier à $p$.
... (la suite c'est bon pour moi).

Alors mes questions :
(1) : Pourquoi dit-on que $aSa^{-1}$ est stabilisateur de $aS$?.
Je m'explique, par exemple si $G=(\{-73, ..., 73\},+)$ (j'ai pris: $p=7$, $\alpha=2$, $m=3$, i.e.: $p^{\alpha}m=147$).
Et si $S= \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ (donc de card $p$ donc $p$-Sylow de $G$).
Alors de ce que je comprends c'est que $G/S=\{(-76,...,70), ... ,(-70,...,76)\}$.
Du coup si je prends un $a \in G$, $aSa^{-1}$ me redonne bien $S$. --> pourquoi parle-t-on de stabilisateur de $aS$ dans ce cas ?
(2) Pourquoi $aSa^{-1} \cap H$ si de toute façon $aS$ est stabilisé pour tout $a \in G$ ?
(3) Pourquoi $aSa^{-1} \cap H$ serait-il de card $p$ ? Dans mon exemple, si $H=\{-1,0,1\}$, on a bien $aSa^{-1} \cap H = H$.

Encore désolé pour mon ignorance, j'ai conscience que ce que j'écris regorge d'erreurs !