Montrer que G est un groupe
dans Algèbre
Bonjour
Je dois montrer que si $G$ est un ensemble non-vide muni de la loi $\star$ associative telle que $\forall a, b, c \in G$
\begin{align*}
a \star b &= a \star c \Rightarrow b = c \\
b \star a &= c \star a \Rightarrow b = c,
\end{align*} alors $G$ est un groupe.
Pour montrer que $(G, \star)$ est un groupe, je dois montrer que
i) $\star$ est associative (par hypothèse, elle l'est),
ii) pour tout $a \in G$, il existe un inverse $a^{-1} \in G$,
iii) il existe un élément neutre (si je trouve l'élément inverse de tout élément de $G$, je trouverai aussi le neutre).
Mais je n'arrive pas à résoudre, je n'arrive pas à monter qu'il existe un inverse ou un neutre.
Merci d'avance.
Je dois montrer que si $G$ est un ensemble non-vide muni de la loi $\star$ associative telle que $\forall a, b, c \in G$
\begin{align*}
a \star b &= a \star c \Rightarrow b = c \\
b \star a &= c \star a \Rightarrow b = c,
\end{align*} alors $G$ est un groupe.
Pour montrer que $(G, \star)$ est un groupe, je dois montrer que
i) $\star$ est associative (par hypothèse, elle l'est),
ii) pour tout $a \in G$, il existe un inverse $a^{-1} \in G$,
iii) il existe un élément neutre (si je trouve l'élément inverse de tout élément de $G$, je trouverai aussi le neutre).
Mais je n'arrive pas à résoudre, je n'arrive pas à monter qu'il existe un inverse ou un neutre.
Merci d'avance.
Réponses
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C'est marrant, en prenant $G=\N$ (les entiers naturels) et $\star=+$ (l'addition), on a bien les implications que tu dis : $a+b=a+c\implies b=c$ et $b+a=c+a\implies b=c$ pour tous $a$, $b$ et $c$. Pourtant, $G$ n'est pas un groupe.
Conclusion : il te manque une hypothèse. Ne serait-ce pas, par exemple, « $G$ fini » ?
À quoi te fait penser l'hypothèse ? (Je la reformule un peu mollement : si un truc qui dépend de $b$ est égal à un truc qui dépend de $c$, alors $b=c$.) Quel mot colles-tu à ce genre d'hypothèse ? Sachant que ça se passe dans un ensemble fini, quel nouveau mot colles-tu à la situation ? -
Oui, pardon, la prof avait dit oralement que c'est pour $G$ fini.
C'est le neutre ?
Je suis parti en me disant qu'il existe deux éléments $e_a^L$ et $e_a^R \in G$ tel que
$e_a^L \star a = a$ et $a\star e_a^R = a$ alors
\begin{align*}
e_a^L \star a &= a \star e_a^R ,&\text{donc} \\
e_a^L \star a \star e_a^R &= a \star e_a^R \star e_a^R,&\text{par l'associativité de la loi }\star \\
e_a^L \star a \star e_a^R &= e_a^R \star a \star e_a^R,
\end{align*} et donc $e_a^L = e_a^R = e$ mon neutre. -
Tu as perdu le fil. Que veux-tu dire par « c'est le neutre » ? Une assertion du genre « pour tous $a$, $b$, $c$... » parle de $G$ mais elle ne te donne aucun élément particulier.
Je reprends avec un $a$ fixé (quelconque) : que signifie l'hypothèse : $\forall b,c\in G,\ f(b)=f(c)\implies b=c$ ?
De quelle fonction $f$ suis-je en train de parler ?
Du fait que $G$ est fini et que $f$ a cette propriété, $f$ a automatiquement une autre propriété : laquelle ?
Fixons un élément particulier, $a$. Avec cette nouvelle propriété, tu peux trouver un candidat pour un neutre. Problème : ce neutre pourrait dépendre de $a$. -
$f$ est injectiveMath Coss a écrit:Je reprends avec un $a$ fixé (quelconque) : que signifie l'hypothèse : $\forall b,c\in G,\ f(b)=f(c)\implies b=c$ ?
De quelle fonction $f$ suis-je en train de parler ?
$f$ est surjective donc $f$ est bijective.Math Coss a écrit:Du fait que $G$ est fini et que $f$ a cette propriété, $f$ a automatiquement une autre propriété : laquelle ?
Mais après ? Que dois-je faire ? Je ne vois pas trop le lien avec le reste, désolé...
J'ai essayé ceci : soit $a$ un élément fixé de $G$, on a que $<a> = \{ a^{i} : i \in \mathbb Z\}$. Soient $i, j \in \mathbb Z$ tels que $a^i = a^j$ (car $G$ fini). Je ne peux pas conclure que $i = j$, je peux juste dire que $a^i$ et $a^j$ sont de même ordre. -
considérer l'ensemble $<a>$, $a$ un élément de l'ensemble $G$ est une bonne idée a priori.
-
Après examen, ça ne sert à rien.
Bon, quelle est l'application $f=f_a$ qu'il faut considérer, bon sang de bois ?
Vu qu'on doit utiliser la surjectivité de cette fonction $f$, le neutre va apparaître comme l'antécédent d'un élément. De quel élément cela peut-il être l'antécédent ? (Traduction : si $e$ est neutre, que vaut $f(e)$ ?) -
Une façon me semble-t-il de définir l'élément neutre.
On sait que si $a\in G$ alors $<a>$ est un ensemble fini.
Si on suppose de plus que $a$ n'est pas un élément neutre.
Il y a un plus petit entier $j$ strictement plus grand que $1$ tel que les $a,a^2,...,a^{j-1}$ sont tous différents
L'élément neutre devrait être égal à $a^{j-1}$. -
OK, ça définit un élément $e_a$ pour chaque $a$. Un intérêt de ce point de vue : par associativité, $ae_a=e_aa$. Est-ce que c'est clair que c'est $a$ ? Reste aussi à réconcilier tous ces $e_a$.
-
Pour réconcilier tous ces $e_a$ je propose de commencer par écrire : $$
ae_a=a\quad\text{ et }\quad e_bb=b,
$$ puis d'utiliser la super propriété vérifiée par $\star$ et donnée en début d'exercice.
Coool Miniportecle on va bientôt résoudre ton exercice, je ne sais pas s'il te convient plus d'attendre la fin ou de chercher tout seul (:D -
Non, on ne va pas lui résoudre son exercice, on va le/la laisser travailler évidemment.
-
En supposant tout ce que vous aviez dit, j'ai réussi.
$b \star e_b \star e_a \star a = b \star a$
Donc par l'hypothèse (2), $b \star e_b \star e_a = b$
or $b \star e_b = b$ donc $e_b \star e_a = e_b$
On fait pareil avec $a$, donc on a $e_b \star e_a \star a = a$ et $e_a \star a= a$ donc
$e_b \star e_a = e_a$ donc $e_a = e_b$.
Merci à tous ! -
Halte là ! Qui est $e_a$ ? Comment justifies-tu son existence à partir de ces considérations plutôt qu'avec l'idée de FdP que tu n'as pas eue (et moi non plus d'ailleurs) ?
-
Bonjour
je propose le cheminement suivant
Soit $a$ dans $G$ : il a été justifié (en utilisant l'hypothèse de simplification) qu' il existe $u$ unique dans $G$ tel que $au=a$
En considérant un $b$ quelconque de $G$ et $v$ de $G$ tel que $va=b$, montrer que $u$ est neutre à droite ( pour tout élément de $G$)
Par un raisonnement analogue, montrer que G admet un neutre $u'$ à gauche
Montrer que $u=u'$ : c'est le neutre de $G$
L'existence d'un inverse à droite et d'un inverse à gauche est immédiate et .... -
Il y a, au moins, une partie manquante dans le raisonnement (comme déjà pointé par Math Coss)
Si on définit pour $a\in G$ et tel que $a$ n'est pas (un) élément neutre, $e_a=a^{j-1}$ avec $j$ la plus petite valeur entière $>1$ telle que $a,a^2,...,a^j$ il reste à voir pourquoi $e_a\star a=a$ B-)
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Bonjour!
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