Exercice action de groupe

Ain melouk
Ain melouk
dans Algèbre
Bonjour
J'ai un exercice avec ma tentative. Aidez-moi s'il vous plaît.

Soit $ G $ un groupe et on qui $ G $ opère sur un ensemble $ E $
Et on a $Card(E)=18 ,$ $ |G|=21. $
Montrez que $E $ admet des points fixes.

Ma tentative.
$ |G|=21 =7\times 3 $
D'après les théorèmes de Sylow et les calculs
On trouve qu' il existe un seul 7-Sylow
Donc il y un seul ou bien aucun stabilisateur d'ordre 7
Donc il y a un seul ou bien aucune orbite de cardinal 3
Donc $ card(E)=a+3b+7c=18 ,\ a,b,c \in N$
Supposons que admet aucune point fixe,
donc $a=0$
$b=0$ ou $1$
$ 7c=18 $ ou $ 3+7c=18$
Ce qui impossible donc absurde
Donc admet des points fixes

Est-ce que ma tentative est totalement vrai ou bien fausse ?
Si faux donner des indications.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Qu'est-ce qui te dit que les stabilisateurs sont des $p$-Sylow ? Ça n'a pas grand-chose à voir avec la question.

    Ici il faudrait plutôt utiliser que $E$ est partitionné selon les orbites de ses éléments, et montrer qu'il en existe forcément une de cardinal $1$. La relation orbite-stabilisateur dit en particulier que chaque orbite est de cardinal $1, 3, 7$ ou $21$. Le cas $21$ est exclu puisque $E$ a moins d'éléments que ça, il reste à voir si on peut écrire $18 = 3a+7b$, on vérifie facilement que non, donc il y a bien des points orbites de cardinal $1$, i.e. des points fixes.

    PS : il semble que ce soit plus ou moins le raisonnement que tu proposes, mais comme tu parlais de $p$-Sylow, ce n'était pas très clair...
  • chettah
    chettah
    @poirot
    $ 18=3a+7b $ cet équation satisfait pour
    b=0 et a=6
    Comment on doit faire ?
  • Poirot
    Poirot
    Ah oui je suis allé trop vite.

    S'il n'y a pas de points fixes, alors il y a exactement $6$ orbites de cardinal $3$, et les stabilisateurs sont tous de cardinal $7$. Je ne trouve pas d'argument ce soir, je reviens demain si personne n'a répondu.
  • Poirot
    Poirot
    Bon en fait il est maintenant facile de construire un contre-exemple à l'énoncé de l'exercice : on fait agir $\mathbb Z/3\mathbb Z$ sur $\mathbb Z/3 \mathbb Z \times \{1, \dots, 6\}$ par $g . (h, k) = (g+h, k)$ L'action est sans point fixe, et $\mathbb Z/3 \mathbb Z \times \{1, \dots, 6\}$ a $18$ éléments. On étend cette action en une action de $G$ via passage au quotient $G \rightarrow \mathbb Z/3\mathbb Z$ qui n'a pas de point fixe.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 27

CidrolinEtienne91OShinegerard0jelobreuil +22 Invités