Valeurs propres d'endomorphisme sur $\R[X]$
Salut 
J'ai cette question .
Pour tout polynôme $P$ de ${\mathbb R}[X]$ on associe le polynôme : $$
f(P)=(8+3X)P+(-5X+X^2)P'+(X^-X^3)P''.
$$ Déterminer les vecteurs propres de $f$.
J'ai montré que $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb R}[X]$. Je souhaite une indication sur cette question, surtout que l'espace est de dimension infinie.
Merci en avance.
J'ai cette question .
Pour tout polynôme $P$ de ${\mathbb R}[X]$ on associe le polynôme : $$
f(P)=(8+3X)P+(-5X+X^2)P'+(X^-X^3)P''.
$$ Déterminer les vecteurs propres de $f$.
J'ai montré que $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb R}[X]$. Je souhaite une indication sur cette question, surtout que l'espace est de dimension infinie.
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Réponses
Une fois que tu connais $d$, tu peux écrire la matrice de $f$.
@Snair : compare le degré de $P$ et de $f(P)$, ça te donnera déjà une première indication de quand est-ce qu'on peut avoir $f(P) = \lambda P$ avec $P$ non nul.
Merci renus et Poirot pour vos réponse utiles . :-)
Si $\deg P=n$ alors on a : $\deg f(P)\le n+1$.
Et on a $\deg f(P)=n$ ssi $n=3$.
Donc on cherche les vecteurs propres de $f$ seulement dans le sous-espace ${\mathbb R}_3[X]$.
Je pense je peux maintenant continuer à répondre la question.