Groupe trivial et théorème de Lagrange
Bonsoir
Je suis en train de commencer un cours sur la théorie des groupes. J'ai une petite question qui m'embête (peut-être j'ai pas bien compris).
Par exemple si je prends un groupe à 3 éléments, $G=\{e,a,b\}$ et j'aimerais prendre un sous-groupe $\{e\}$. Le théorème de Lagrange me dit que l'ordre de $G=3 =1+1+1$.
Ma question est, comment construire les 2 autres sous-groupes qui restent, car clairement $\{a\}$ et $\{b\}$ ne le sont pas.
Merci et bonne soirée.
Je suis en train de commencer un cours sur la théorie des groupes. J'ai une petite question qui m'embête (peut-être j'ai pas bien compris).
Par exemple si je prends un groupe à 3 éléments, $G=\{e,a,b\}$ et j'aimerais prendre un sous-groupe $\{e\}$. Le théorème de Lagrange me dit que l'ordre de $G=3 =1+1+1$.
Ma question est, comment construire les 2 autres sous-groupes qui restent, car clairement $\{a\}$ et $\{b\}$ ne le sont pas.
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Réponses
Au fait, comment est définie l'opération dans l'ensemble $\{e,a,b\}$ que tu as donné ? (Est-ce que la lettre $e$ est censée nous faire penser que $e$ est le neutre ?)
Pourquoi je pense qu'il admet 3 sous-groupes ?
Le théorème de Lagrange dit que l'ordre de chaque sous-groupe est un diviseur de l'ordre du groupe. Donc pour moi si $\{e\}$ est un sous-groupe, donc $3 = 1\cdot3 = 1+1+1$.
Il y a quelque chose que j'ai loupé quelque part, c'est sûr, mais je n'arrive pas à la retrouver.
Non c'est le contraire : l'ordre de chaque sous groupe est un diviseur de l'ordre du groupe.
Tous les sous-groupes doivent contenir $e$. Donc les candidats sont :
- $\{e\}$ qui est le sous-groupe trivial.
- $\{e,a\}$ dont le cardinal (2) ne divise pas l'ordre de $G$ (3). Donc ce n'est pas un sous-groupe de $G$.
- $\{e,b\}$ dont le cardinal (2) ne divise pas l'ordre de $G$ (3). Donc ce n'est pas un sous-groupe de $G$.
- $\{e,a,b\} = G$ qui est un sous-groupe de lui-même.
Voilà les deux seuls sous-groupes. Il n'y en a pas d'autres.D'ailleurs, il faudrait mieux définir la loi de $G$ comme le pointe Math Coss, parce que la multiplication de variables $e$, $a$ et $b$ quelconques, ça n'est pas défini a priori (mais ce que j'ai dit au-dessus marche peu importe la loi du groupe $G$, pourvu que $e$ soit neutre).
Edit : Calli a été plus rapide...
Noix de totos, je voulais dire diviseur. Je m'excuse
Bonne soirée et merci.
Vu comme la question était posée, je parie que PinkMan pense que la réponse est oui....
Pour commencer, elle est mal construite : il y a une proposition subordonnée introduite par « si », une proposition coordonnée introduite par « donc » mais il manque la proposition principale entre les deux. On pourrait se dire que ce « donc » doit être remplacé par « alors », ce qui donne : Là, on a une phrase bien construite et vraie mais je ne comprends pas du tout pourquoi on a besoin de savoir que $\{e\}$ est un sous-groupe pour en déduire la trivialité que $3=3\times1=1+1+1$ que tout le monde connaît depuis l'âge de sept ans, ni le rapport entre ce constat qui parle de $3$ et le nombre de sous-groupes de $G$.
Peut-être que le problème de PinkMan vient de l'idée fausse selon laquelle le théorème de Lagrange parle de plusieurs sous-groupes ou du nombre de sous-groupes. Ce n'est pas le cas : dans le théorème de Lagrange, on fixe un sous-groupe particulier et on déduit quelque chose du cardinal (appelé aussi « ordre ») de ce sous-groupe.
Il ne faudrait pas non plus renverser le théorème de Lagrange : comme le suggère Amathoué, ce n'est pas parce qu'on fixe un diviseur de l'ordre d'un groupe qu'il y a automatiquement un sous-groupe dont l'ordre est ce diviseur.